et, employant la méthode ordinaire de tâtonnement, j’ai trouvé celles-ci corrigées et exactes jusqu’à la quatrième décimale inclusivement
ainsi, en y ajoutait on aura
Telles sont les racines de l’équation qui détermine la quantité d’où l’on voit que cette quantité peut avoir quatre valeurs différentes toutes réelles, que nous désignerons par et qui donneront par conséquent autant de sinus et de cosinus dans les expressions des variables du Problème. Ainsi nous sommes déjà assurés que ces expressions ne sauraient contenir des arcs de cercle, et que par conséquent leur exactitude ne sera pas bornée à un temps limité, mais aura toujours lieu à l’infini.
Mais, comme les racines que nous venons de trouver dépendent des valeurs supposées aux masses des Planètes, on pourrait douter si, en changeant ces valeurs, on ne tomberait peut-être pas dans des racines égales ou imaginaires. Pour lever tout à fait ce doute, il faudrait pouvoir démontrer, en général, que, quelles que soient les valeurs des masses, pourvu seulement qu’elles soient positives, les racines de l’équation dont il s’agit sont toujours nécessairement réelles et inégales. Cela est facile lorsqu’on ne considère à la fois que l’action mutuelle de deux Planètes, comme nous l’avons vu plus haut relativement à Saturne et Jupiter, parce qu’alors l’équation n’est que du second degré : mais cette équation se complique et s’élève à mesure que le nombre des Planètes augmente ; c’est pourquoi il devient de plus en plus difficile de juger à priori de la qualité des racines. Cependant il ne paraît pas impossible de parvenir, par quelque artifice particulier, à décider cette question d’une manière générale ; et comme c’est un objet également intéressant pour l’Analyse et pour l’Astronomie physique, je me propose de m’en occuper. En attendant, je me contenterai de remarquer que, dans le cas présent, les racines trouvées sont trop différentes entre elles pour qu’un petit changement dans les masses adoptées puisse les rendre égales, et
