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En faisant

$z=m(u+1),$

elle se réduit à cette forme

$u^{3}-\left(3-{\frac {n}{m^{2}}}\right)u-\left(2-{\frac {n}{m^{2}}}+{\frac {p}{m^{3}}}\right)=0,$

de sorte qu’en la comparant à

$u^{3}-3r^{2}u-2r^{3}\cos \varphi =0,$

on a

$r^{2}=1-{\frac {n}{3m^{2}}}=0{,}92011,$

$r^{3}\cos \varphi =1-{\frac {n}{m^{2}}}+{\frac {p}{m^{3}}}=0{,}88039\,;$

ce qui donne

$r=0{,}95022,\quad \varphi =4^{\circ }3',\quad {\frac {\varphi }{3}}=1^{\circ }21'$

(il est inutile de porter ici la précision jusqu’aux secondes, puisque la valeur de $\cos \varphi$ n’est exacte qu’à la cinquième décimale près).

Ainsi les trois racines ou valeurs de $u$ seront

$1{,}91791,\quad -0{,}91990,\quad 0{,}99802\,;$

et de là on trouvera

$z'=134{,}384,\quad z''=3{,}6892,\quad z'''=0{,}09124.$

Donc, puisque $-\mathrm {Q}$ est un nombre positif, on aura

${\sqrt {z'}}=11,5904,\quad {\sqrt {z''}}=1,9207,\quad {\sqrt {z'''}}=0,3021.$

Par conséquent les quatre racines ou valeurs de $y$ seront

$6{,}9076,\quad 4{,}6848,\quad -4{,}9869,\quad -6{,}6055.$

Mais, quoique ces valeurs soient poussées jusqu’à la quatrième décimale, on ne peut cependant compter que sur la troisième ; c’est pourquoi, afin de les vérifier et de leur donner en même temps une plus grande exactitude, je les ai substituées successivement dans l’équation

$y^{4}+\mathrm {P} y^{2}+\mathrm {Q} y+\mathrm {R} =0,$