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16. Sans chercher ces expressions on peut d’abord conclure, soit de la Théorie de la transformation des coordonnées, soit de cette considération qu’en supposant $\xi ,$ ou $\eta ,$ ou $\zeta$ constantes (ce qui donne des plans perpendiculaires aux axes de ces mêmes coordonnées) on doit avoir toujours des équations linéaires entre $a,b,c\,;$ on peut, dis-je, conclure de là que les valeurs de $\xi ,\eta ,\zeta$ en $a,b,c$ ne peuvent être que de la forme suivante

${\begin{aligned}\xi =&a\xi '+b\xi ''+c\xi ''',\\\eta =&a\eta '+b\eta ''+c\eta ''',\\\zeta =&a\zeta '+b\zeta ''+c\zeta ''',\end{aligned}}$

les quantités $\xi ',\xi '',\xi ''',\eta ',\eta '',\ldots$ étant les mêmes pour tous les points du corps et dépendant uniquement de la position de ses axes par rapport aux axes fixes des coordonnées $x,y,z.$

Or les conditions de la solidité du corps consistent en ce que la distance entre deux points quelconques doit être constante, et par conséquent indépendante des quantités $\xi ',\eta ',\zeta ',\xi '',\eta '',\ldots \,;$ donc, si l’on suppose que les coordonnées $a,b,c$ et $\xi ,\eta ,\zeta$ répondent à un point du corps, et que pour un autre point elles deviennent $a_{1},b_{1},c_{1},\xi _{1},\eta _{1},\zeta _{1},$ il est clair que la distance entre ces deux points sera exprimée également par

${\sqrt {(a-a_{1})^{2}+(b-b_{1})^{2}+(c-c_{1})^{2}}}$

et par

${\sqrt {(\xi -\xi _{1})^{2}+(\eta -\eta _{1})^{2}+(\zeta -\zeta _{1})^{2}}}\,;$

en sorte qu’il faudra qu’on ait cette équation identique

$(\xi -\xi _{1})^{2}+(\eta -\eta _{1})^{2}+(\zeta -\zeta _{1})^{2}=(a-a_{1})^{2}+(b-b_{1})^{2}+(c-c_{1})^{2}.$

Mais il est visible que pour avoir $\xi _{1},\eta _{1},\zeta _{1},$ il n’y a qu’à changer $a,b,c$ en $a_{1},b_{1},c_{1}$ dans les expressions précédentes de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ et qu’ainsi pour avoir $\xi -\xi _{1},\ \eta -\eta _{1},\ \zeta -\zeta _{1}$ il n’y aura qu’à mettre dans les mêmes expressions $a-a_{1},\ b-b_{1},\ c-c_{1}$ au lieu de $a,b,c.$

Substituant donc ces valeurs dans l’équation précédente et comparant