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Ce sont là tous les éléments nécessaires pour le calcul des variations séculaires des Planètes dont il s’agit. Nous allons en exposer le procédé et les résultats avec le détail dû à l’importance du sujet.

Excentricités et aphélies.

59. Commençons par le premier système, et remarquons d’abord que les variables $x,y,x',y'$ ayant déjà été déterminées ci-dessus (50), les termes qui contiennent ces variables doivent être regardés comme tout connus. Or ayant trouvé

${\begin{aligned}x\ &=\mathrm {A} \ \sin(at+\alpha )+\mathrm {B} \ \sin(bt+\beta ),\\y\ &=\mathrm {A} \ \cos(at+\alpha )+\mathrm {B} \ \cos(bt+\beta ),\\x'&=\mathrm {A} '\sin(at+\alpha )+\mathrm {B} '\sin(bt+\beta ),\\y'&=\mathrm {A} '\cos(at+\alpha )+\mathrm {B} '\cos(bt+\beta ),\\\end{aligned}}$

il est facile de se convaincre, par la nature des équations à intégrer, que, toutes les variables $x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$ doivent contenir aussi les sinus des mêmes angles déjà connus $at+\alpha ,bt+\beta ,$ et les variables $y'',y''',y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$ les cosinus correspondants.

On supposera donc, pour satisfaire à ces équations,

${\begin{alignedat}{2}y''\ =&\mathrm {A} ''\ \sin(at+\alpha )&+&\mathrm {B} ''\ \sin(bt+\beta )&+&\mathrm {C} ''\ \sin(ct+\gamma ),\\y''\ =&\mathrm {A} ''\ \cos(at+\alpha )&+&\mathrm {B} ''\ \cos(bt+\beta )&+&\mathrm {C} ''\ \cos(ct+\gamma ),\\y'''=&\mathrm {A} '''\sin(at+\alpha )&+&\mathrm {B} '''\sin(bt+\beta )&+&\mathrm {C} '''\sin(ct+\gamma ),\\y'''=&\mathrm {A} '''\cos(at+\alpha )&+&\mathrm {B} '''\cos(bt+\beta )&+&\mathrm {C} '''\cos(ct+\gamma ),\\y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin(at+\alpha )&+&\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin(bt+\beta )&+&\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin(ct+\gamma ),\\y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos(at+\alpha )&+&\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos(bt+\beta )&+&\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos(ct+\gamma ),\\y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ =&\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \sin(at+\alpha )&+&\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \sin(bt+\beta )&+&\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \sin(ct+\gamma ),\\y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ =&\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \cos(at+\alpha )&+&\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \cos(bt+\beta )&+&\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \cos(ct+\gamma ),\end{alignedat}}$

les coefficients $\mathrm {A'',B'',C'',A''',B'''} ,\ldots$ étant tous constants et indéterminés, ainsi que les deux quantités $c$ et $\gamma .$