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et la distance

${\sqrt {(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2}}}$

sera exprimée par

${\sqrt {(\xi -\xi _{1})^{2}+(\eta -\eta _{1})^{2}+(\zeta -\zeta _{1})^{2}}}.$

De sorte que les conditions provenantes de la solidité ne pourront regarder que les coordonnées $\xi ,\eta ,\zeta ,$ et nullement les coordonnées $x',y',z',$ lesquelles demeureront par conséquent indéterminées. C’est ce qui est d’ailleurs évident de soi-même, puisque ces dernières coordonnées se rapportent à un point déterminé de la masse du corps, dont la position dans l’espace peut être quelconque.

15. Toute la difficulté se réduit donc à déterminer la forme des quantités $\xi ,\eta ,\zeta ,$ en sorte qu’elles satisfassent aux conditions de la solidité. Or je remarque, en général, que si l’on imagine dans l’intérieur du corps trois axes fixes et pèrpendiculaires entre eux qui se coupent dans le centre du corps, et qu’on rapporte à ces axes la position de chaque point du corps par de nouvelles coordonnées rectangles $a,b,c,\ldots$ ces coordonnées serviront à déterminer la position et la distance mutuelle de tous les points du corps ; de sorte que le corps sera solide lorsque ces coordonnées seront constantes pour chaque point du corps, et par conséquent indépendantes du temps ; mais si elles peuvent varier $d$’un instant à l’autre, le corps changera alors de figure, comme les corps flexibles ou fluides. Il n’y aura donc qu’à chercher les valeurs des premières coordonnées $\xi ,\eta ,\zeta ,$ exprimées par les dernières $a,b,c,\ldots$ et les conditions de la solidité seront remplies en regardant ces dernières comme constantes.

Or, comme ces différentes coordonnées se rapportent aux mêmes points du corps, et ont d’ailleurs leur origine dans le même point qu’on prend pour le centre du corps, mais ne diffèrent que par la position de leurs axes, il n’est pas difficile de trouver les valeurs dont il s’agit, soit à l’aide de la Trigonométrie, ou par des constructions géométriques, ou, ce qui est encore plus simple, par la Théorie connue de la transformation des coordonnées ; nous les donnerons plus bas, et nous commencerons ici par faire des remarques générales sur les expressions de ces valeurs.