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d’où l’on tire

$\mathrm {\frac {A'}{A}} ={\frac {(0,1)-a}{[0,1]}}={\frac {[1,0]}{(1,0)-a}}\,;$

donc

$\left[a-(0,1)\right]\times \left[a-(1,0)\right]=[0,1]\times [1,0]\,;$

ce qui donne cette équation en $a$ du second degré

$a^{2}-\left[(0,1)+(1,0)\right]a+(0,1)\times (1,0)-[0,1]\times [1,0]=0,$

dont les racines sont

$a={\frac {(0,1)+(1,0)}{2}}\pm {\sqrt {\left[{\frac {(0,1)+(1,0)}{2}}\right]^{2}+[0,1]\times [1,0]}},$

et par conséquent toutes deux réelles ; par où l’on est assuré que les expressions des variables ne contiennent point d’arcs de cercle.

En nommant ces deux racines $a$ et $b,$ on trouve

$a=21''{,}9905,\quad b=3''{,}5851\,;$

et les expressions complètes de $x,y,x',y'$ seront

${\begin{aligned}x\ =&\mathrm {A} \ \sin(at+\alpha )+\mathrm {B} \ \sin(bt+\beta ),\\y\ =&\mathrm {A} \ \cos(at+\alpha )+\mathrm {B} \ \cos(bt+\beta ),\\x'=&\mathrm {A} '\sin(at+\alpha )+\mathrm {B} '\sin(bt+\beta ),\\y'=&\mathrm {A} '\cos(at+\alpha )+\mathrm {B} '\cos(bt+\beta ),\end{aligned}}$

en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {\frac {A'}{A}} ={\frac {(0,1)-a}{[0,1]}}=&-0{,}3518\\&\quad \ \ 9{,}5462518,\\\mathrm {\frac {B'}{B}} ={\frac {(0,1)-b}{[0,1]}}=&1{,}2235\\&0{,}0875927.\end{aligned}}$

Il reste ainsi quatre arbitraires $\mathrm {A,B} ,\alpha ,\beta$ qu’il faudra déterminer par les valeurs données de $x,y,x',y'$ pour l’époque de 1700. De sorte