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l’extrémité du dernier arc une ordonnée rectangle au diamètre du premiter cercle, cette ordonnée se trouvera exprimée par

$\mathrm {A} sin(at+\alpha )+\mathrm {B} sin(bt+\beta )+\mathrm {C} \sin(ct+\gamma )+\ldots ,$

et que l’ahscisse correspondante prise du centre du cercle sera

$\mathrm {A} \cos(at+\alpha )+\mathrm {B} \cos(bt+\beta )+\mathrm {C} \cos(ct+\gamma )+\ldots .$

Ces deux coordonnées seront donc égales à $y$ et $x\,;$ et, comme

$\lambda ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad \operatorname {tang} \varphi ={\frac {y}{x}},$

on voit que $\lambda$ sera le rayon vecteur et $\varphi$ l’angle de ce rayon avec l’axe des abscisses.

Il s’ensuit de là que, si l’on imagine que le Soleil soit au centre du premier cercle et que le diamètre de ce cercle soit dirigé vers le premier point d’Aries d’où l’on compte les longitudes, le centre de l’orbite de chaque Planète se trouvera sur la circonférence du dernier épicycle à l’extrémité de l’arc qu’on y aura marqué.

La construction précédente servira également à trouver les valeurs de $\theta$ et de $\omega \,;$ par conséquent on pourra par son moyen déterminer pour un temps donné les éléments variables de chaque Planète, dès qu’on connaîtra par le calcul les valeurs des différentes constantes $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ $a,b,c,\ldots ,$ $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ qui entrent dans les expressions générales de ces éléments.

47. Au reste, par la construction que nous venons de donner, on voit clairement que, lorsque le rayon du premier cercle surpasse la somme des rayons de tous les épicycles, les angles $bt+\beta ,$ $ct+\gamma ,\ldots$ décrits autour des centres de ceux-ci ne peuvent qu’augmenter ou diminuer l’angle $at+\alpha$ décrit autour du centre du premier cercle, sans jamais le rendre nul ; et qu’ainsi dans ce cas le rayon vecteur doit avoir un mouvement angulaire continuel, dont $at+\alpha$ sera la valeur moyenne.

Il n’en est pas de même lorsque la somme des rayons des épicycles est