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et faisant, pour abréger,

$\sigma =(b-a)t+\beta -\alpha ,\quad \rho =(c-a)t+\gamma -\alpha ,\ldots ,$

on aura pareillement

${\begin{aligned}\psi &={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\log \left(1+{\frac {\mathrm {B} e^{\sigma {\sqrt {-1}}}+\mathrm {C} e^{\rho {\sqrt {-1}}}+\ldots }{\Lambda }}\right)\\&-{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\log \left(1+{\frac {\mathrm {B} e^{-\sigma {\sqrt {-1}}}+\mathrm {C} e^{-\rho {\sqrt {-1}}}+\ldots }{\Lambda }}\right),\end{aligned}}$

d’où l’on tire, par la réduction en séries et la substitution des sinus,

$\psi =\mathrm {\frac {B\sin \sigma +C\sin \rho +\ldots }{\Lambda }} -\mathrm {\frac {B^{2}\sin 2\sigma +2BC\sin(\sigma +\rho )+C^{2}\sin 2\rho +\ldots }{2\Lambda ^{2}}} +\ldots ,$

série toujours convergente dans le cas dont il s’agit.

46. Hors de ces deux cas, il est fort difficile et peut-être même impossible de prononcer, en général, sur la nature de l’angle $\varphi \,;$ mais on peut dans tous les cas construire la valeur de cet angle, ainsi que celle de la quantité $\lambda ,$ par le moyen des épicycles.

En effet soient décrits différents cercles qui aient pour rayons les constantes $\mathrm {A,B,C} ,\ldots \,;$ ayant mené dans le premier de ces cercles un diamètre fixe, qu’on prenne depuis ce diamètre un arc qui comprenne l’angle $at+\alpha \,;$ qu’ensuite on place à l’extrémité de cet arc le centre du second cercle et qu’on y prenne, depuis un diamètre mené parallèlement à celui du cercle précédent, un arc qui réponde à l’angle $bt+\beta \,;$ que de même on place à l’extrémité de cet arc le centre du troisième cercle, et qu’on y prenne aussi, depuis un diamètre parallèle aux précédents, un nouvel arc qui sous-tende l’angle $ct+\gamma ,$ et ainsi de suite. Je dis que, si du centre du premier cercle on tire une ligne droite ou rayon vecteur à l’extrémité de l’arc pris sur la circonférence du dernier épicycle, ce rayon vecteur sera égal à $\lambda$ et fera avec le diamètre du premier cercle l’angle $\varphi .$

Car il est visible, d’après cette construction, que, si l’on abaisse de