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en faisant, pour abréger,

$\sigma =(b-a)t+\beta -\alpha .$

Donc

$\psi ={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\log \left(1+\mathrm {\frac {B}{A}} e^{\sigma {\sqrt {-1}}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\log \left(1+\mathrm {\frac {B}{A}} e^{-\sigma {\sqrt {-1}}}\right),$

et, réduisant ces logarithmes en séries,

$\psi ={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\left[\mathrm {\frac {B}{A}} \left(e^{\sigma {\sqrt {-1}}}-e^{-\sigma {\sqrt {-1}}}\right)-\mathrm {\frac {B^{2}}{2A^{2}}} \left(2e^{\sigma {\sqrt {-1}}}-e^{-2\sigma {\sqrt {-1}}}\right)\right.$

$\left.+\mathrm {\frac {B^{3}}{3A^{3}}} \left(3e^{\sigma {\sqrt {-1}}}-e^{-3\sigma {\sqrt {-1}}}\right)-\ldots \right],$

c’est-à-dire

$\psi =\mathrm {{\frac {B}{A}}\sin \sigma -{\frac {B^{2}}{2A^{2}}}\sin 2\sigma +{\frac {B^{3}}{3A^{3}}}} \sin 3\sigma -\ldots ,$

série qui sera toujours convergente à cause de $\mathrm {\frac {B}{A}} <\pm 1$ par l’hypothèse.

45. On peut résoudre de la même manière l’équation générale

$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\mathrm {A} \sin(at+\alpha )+\mathrm {B} \sin(bt+\beta )+\mathrm {C} \sin(ct+\gamma )+\ldots }{\mathrm {A} \cos(at+\alpha )+\mathrm {B} \cos(bt+\beta )+\mathrm {C} \cos(ct+\gamma )+\ldots }},$

lorsqu’un des coefficients, comme $\mathrm {A} ,$ est plus grand que la somme de tous les autres pris positivement.

On aura ainsi d’abord

$\varphi =at+\alpha +\psi ,$

et

$\operatorname {tang} \psi ={\frac {\mathrm {B} \sin \left[(b-a)t+\beta -\alpha \right]+\mathrm {C} \sin \left[(c-a)t+\gamma -\alpha \right]+\ldots }{\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos \left[(b-a)t+\beta -\alpha \right]+\mathrm {C} \cos \left[(c-a)t+\gamma -\alpha \right]+\ldots }}\,;$

par où l’on voit que, le dénominateur de $\operatorname {tang} \psi$ ne pouvant jamais devenir nul dans le cas supposé, l’angle $\psi$ sera nécessairement renfermé entre $+90^{\circ }$ et $-90^{\circ },$ et qu’ainsi $at+\alpha$ sera le mouvement moyen de l’angle $\varphi ,$ et $\psi$ n’en exprimera que les inégalités.

Ensuite, employant la même formule

$\psi ={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\log {\frac {1+\operatorname {tang} \psi {\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} \psi {\sqrt {-1}}}},$