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gardant $\varphi ,\psi ,\omega ,\ldots ,d\varphi ,d\psi ,d\omega ,\ldots$ comme autant de variables indépendantes les unes des autres, on aura

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \omega }}d\omega +\ldots +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d\,d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d\,d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d\,d\omega +\ldots =d\mathrm {\mathrm {T} } .$

Ainsi l’équation précédente prendra cette forme

$d\left({\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d\omega +\ldots \right)-d\mathrm {\mathrm {T} } +d\mathrm {\mathrm {V} } =0,$

dont l’intégrale est

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d\omega +\ldots -\mathrm {T} +\mathrm {V} =$const.

Je remarque maintenant que par la nature de la quantité $\mathrm {T}$ on a nécessairement

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d\omega +\ldots =2\mathrm {T} .$

Car $\mathrm {T}$ étant une fonction homogène de deux dimensions des différences $dx,dy,dz,dx',dy',dz',\ldots$ (10), elle sera aussi une pareille fonction des différences $d\varphi ,d\psi ,d\omega ,\ldots \,;$ donc, regardant ces différences comme des variables particulières, on aura par la propriété connue de ces sortes de fonctions

${\frac {d\mathrm {T} }{d\,d\varphi }}d\varphi +{\frac {d\mathrm {T} }{d\,d\psi }}d\psi +{\frac {d\mathrm {T} }{d\,d\omega }}d\omega +\ldots =2\mathrm {T} ,$

ou, ce qui revient au même,

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d\omega +\ldots =2\mathrm {T} .$

L’intégrale trouvée deviendra donc

$\mathrm {T+V} =$const.,

équation qui n’est autre chose que celle qui renferme le principe connu de la conservation des forces vives ; car il est visible que $2\mathrm {T}$ exprime la somme des forces vives actuelles de tous les corps du système, et que