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Mais, si ces variables ne sont pas indépendantes, alors il faudra réduire les différences $\delta \varphi ,\delta \psi ,\delta \omega ,\ldots$ au plus petit nombre possible, et, égalant ensuite à zéro le coefficient de chacune de celles qui resteront, on aura les équations du Problème.

12. Si l’on multiplie les équations précédentes respectivement par $d\varphi ,d\psi ,$$d\omega ,\ldots ,$ qu’ensuite on les ajoute ensemble, on aura une équation intégrable. En effet, puisque

$d\varphi d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}+d\psi d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}+d\omega d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}+\ldots$

${\begin{aligned}=&d\left({\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d\omega +\ldots \right)\\&-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d^{2}\varphi -{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d^{2}\psi -{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d^{2}\omega -\ldots ,\end{aligned}}$

l’équation dont il s’agit sera

${\begin{aligned}d&\left({\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d\omega +\ldots \right)\\&-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d^{2}\varphi -{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d^{2}\psi -{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d^{2}\omega -\ldots \\&-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}\ \ d\varphi \,\ -{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}\ \ d\psi \ \,-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \omega }}\ \ d\omega \ \,-\ldots \\&+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}\ \ d\varphi \ \,+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}\ \ d\psi \ \,+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \omega }}\ \ d\omega \ \,+\ldots =0.\end{aligned}}$

Or, $\mathrm {V}$ étant une fonction finie de $\varphi ,\psi ,\omega ,\ldots ,$ on aura

$d{\mathrm {V} }={\frac {d\mathrm {V} }{d\varphi }}d\varphi +{\frac {d\mathrm {V} }{d\psi }}d\psi +{\frac {d\mathrm {V} }{d\omega }}d\omega +\ldots \,;$

mais

${\frac {d\mathrm {V} }{d\varphi }}={\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }},\quad {\frac {d\mathrm {V} }{d\psi }}={\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }},\ldots ,$

ce qui est évident par la nature du Calcul différentiel. Donc on aura aussi

${\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \omega }}d\omega +\ldots =d\mathrm {V} .$

On démontrera de même que, puisque $\mathrm {T}$ est une fonction des quantités finies $\varphi ,\psi ,\omega ,\ldots$ et de leurs différences premières $d\varphi ,d\psi ,d\omega ,\ldots ,$ en re-