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2^o Pour les variations annuelles des inclinaisons par rapport à l’écliptique vraie

${\begin{aligned}{\frac {d\vartheta }{dt}}\ \ \ =&{\bigl [}(3,1)-(0,1){\bigr ]}\theta '\ \ \sin(\omega '\ \ -\omega \ \ \ )+{\bigl [}(3,2)-(0,2){\bigr ]}\theta ''\sin(\omega ''-\omega )\\+&{\bigl [}(3,4)-(0,4){\bigr ]}\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin(\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\ -\omega \ \ \ )+{\bigl [}(3,5)-(0,5){\bigr ]}\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\sin(\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-\omega ),\\\\{\frac {d\vartheta '\ \ }{dt}}\ \ =&{\bigl [}(3,0)-(1,0){\bigr ]}\theta \ \ \ \sin(\omega \ \ \ -\omega '\ )+{\bigl [}(3,2)-(1,2){\bigr ]}\theta ''\sin(\omega ''-\omega ')\\+&{\bigl [}(3,4)-(1,4){\bigr ]}\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin(\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,-\omega '\ )+{\bigl [}(3,5)-(1,5){\bigr ]}\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\sin(\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-\omega '),\\\\{\frac {d\vartheta ''}{dt}}\ =&{\bigl [}(3,0)-(2,0){\bigr ]}\theta \ \ \ \sin(\omega \ \ \ -\omega ''\,)+{\bigl [}(3,1)-(2,1){\bigr ]}\theta '\sin(\omega '-\omega '')\\+&{\bigl [}(3,4)-(2,4){\bigr ]}\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin(\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\omega ''\ )+{\bigl [}(3,5)-(2,5){\bigr ]}\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\sin(\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-\omega ''),\\\\{\frac {d\vartheta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{dt}}=&{\bigl [}(3,0)-(4,0){\bigr ]}\theta \ \ \ \sin(\omega \ \ \ -\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})+{\bigl [}(3,1)-(4,1){\bigr ]}\theta '\sin(\omega '-\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\\+&{\bigl [}(3,2)-(4,2){\bigr ]}\theta ''\ \sin(\omega ''\ -\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})+{\bigl [}(3,5)-(4,5){\bigr ]}\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\sin(\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}),\\\\{\frac {d\vartheta ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{dt}}\ =&{\bigl [}(3,0)-(5,0){\bigr ]}\theta \ \ \ \sin(\omega \ \ \ -\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ )+{\bigl [}(3,1)-(5,1){\bigr ]}\theta '\sin(\omega '-\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}})\\+&{\bigl [}(3,2)-(5,2){\bigr ]}\theta ''\ \sin(\omega ''\ -\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ )+{\bigl [}(3,4)-(5,4){\bigr ]}\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin(\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}).\end{aligned}}$

Au reste, si dans ces expressions des variations annuelles relativement a la vraie écliptique on suppose nuls les coefficients $(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),$$(3,4),(3,5),$ ce qui ne demande que d’y effacer tous les termes où ces coefficients se trouvent, elles donneront les variations annuelles par rapport à l’écliptique fixe ; les quantités $d\Omega ,d\Omega ',\ldots ,d\vartheta ,d\vartheta ',\ldots$ se changeant alors en $d\omega ,d\omega ',\ldots ,d\theta ,d\theta ',\ldots ,$ comme on le voit par les formules ci-dessus, puisque dans cette hypothèse les différences $ds'''$ et $du'''$ disparaissent.

25. Enfin, pour déterminer les variations annuelles de l’obliquité de l’écliptique et du lieu des équinoxes, on remarquera que ${\frac {ds'''}{dt}}$ et ${\frac {du'''}{dt}}$ sont