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terme ${\frac {d\varphi }{dt}}t$ pendant la durée d’un siècle et même de deux ; et la variation annuelle de $\varphi$ sera représentée avec une exactitude suffisante par la différentielle ${\frac {d\varphi }{dt}}\,;$ et ainsi des autres, comme nous l’avons supposé plus haut.

24. Venons maintenant aux variations annuelles des nœuds et des inclinaisons. Elles seront exprimées par ${\frac {d\omega }{dt}},{\frac {d\omega '}{dt}},\ldots ,{\frac {d\theta }{dt}},{\frac {d\theta '}{dt}},\ldots$ si l’on seront par rapporte les orbites des Planètes à l’écliptique supposée fixe ; mais en les rapportant à l’écliptique vraie et mobile, ces variations devront être représentées par ${\frac {d\Omega }{dt}},{\frac {d\Omega '}{dt}},\ldots ,$ ${\frac {d\vartheta }{dt}},{\frac {d\vartheta '}{dt}},\ldots ,$ en supposant

$\vartheta \sin \Omega =s-s''',\quad \vartheta \cos \Omega =u-u''',$

$\vartheta '\sin \Omega '=s'-s''',\quad \vartheta '\cos \Omega '=u'-u''',\ldots ,$

d’après ce que nous avons démontré dans le n^o 18. Ainsi l’on aura

${\begin{aligned}d\Omega =&{\frac {(u-u''')(ds-ds''')-(s-s''')(du-du''')}{(s-s''')^{2}+(u-u''')^{2}}},\\d\vartheta =&{\frac {(s-s''')(ds-ds''')+(u-u''')(du-du''')}{\sqrt {(s-s''')^{2}+(u-u''')^{2}}}}\,;\end{aligned}}$

mais en prenant pour l’écliptique fixe le plan dans lequel larvraie écliptique s’est trouvée à l’époque donnée, on a $\theta '''=0,$ et, par conséquent $s'''=0,$ $u'''=0\,;$ ce qui simplifie les formules précédentes, et les réduit à celles-ci

$d\Omega ={\frac {u(ds-ds''')-s(du-du''')}{\theta ^{2}}},\quad d\vartheta ={\frac {s(ds-ds''')+u(du-du''')}{\theta }}\,;$

et l’on aura de pareilles formules pour $d\Omega ',d\vartheta ',\ldots .$

Substituant donc les valeurs de $ds,ds',\ldots ,du,du',\ldots$ tirées des équations différentielles du n^o 17, en faisant toujours $s'''=0,\ u'''=0,$ et remettant pour $s,u,\ldots$ leurs valeurs $\theta \sin \omega ,\theta \cos \omega ,\ldots ,$ on aura :