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23. Si l’on voulait avoir ces variations plus exactement, il n’y aurait qu’à chercher, par des différentiations et des substitutions successives, les valeurs des différences secondes, troisièmes, $\ldots$ de $\varphi ,\varphi ',\ldots ,\lambda ,\lambda ',\ldots$ en fonction de ces variables ; et regardant ensuite ces mêmes variables comme des fonctions du temps, on aurait par le Théorème connu leurs variations pour un temps quelconque $t$ peu considérable, exprimées en séries de $t$.

Il faut seulement remarquer que, comme dans les valeurs des différences secondes, les coefficients marqués par des crochets formeront partout des produits de deux dimensions, que dans celles des différences troisièmes, ils formeront des produits de trois dimensions, et ainsi de suite, il sera nécessaire pour l’homogénéité, à cause que ces coefficients sont exprimés en secondes, de diviser les différences secondes par le nombre de secondes de l’arc égal au rayon, les différences troisièmes par le carré de ce nombre, et ainsi de suite.

Ainsi, en faisant, pour abréger,

$n=206264{,}8,$

et supposant connues les valeurs de ${\frac {d\varphi }{dt}},{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}},\ldots$ pour une époque donnée, on aura pour un nombre quelconque d’années Juliennes écoulées depuis cette époque la variation de $\varphi$ exprimée par la série

${\frac {d\varphi }{dt}}t+{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}{\frac {t^{2}}{2n}}+{\frac {d^{3}\varphi }{dt^{3}}}{\frac {t^{3}}{2.3.n^{2}}}+\ldots ,$

laquelle servira également pour les années qui précèdent l’époque en prenant $t$ négatif. Il en sera de même pour la variation des autres éléments.

Or, en faisant $t=100,$ on aura ${\frac {t^{2}}{2n}}={\frac {1}{40}}$ à très-peu près, et le second terme de la série précédente ne pourra donner tout au plus que quelques secondes ; mais les suivants ne donneront que des fractions de seconde. C’est pourquoi on pourra sans scrupule s’en tenir au premier