Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/250

2^o Pour les variations annuelles des excentricités

${\begin{aligned}{\frac {d\lambda }{dt}}\ \ \ =&[0,1]\lambda '\sin(\varphi '-\varphi )+[0,2]\lambda ''\sin(\varphi ''-\varphi )\\+[0,3]&\lambda '''\sin(\varphi '''-\varphi )+[0,4]\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\varphi )+[0,5]\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\sin(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-\varphi ),\\\\{\frac {d\lambda '}{dt}}\ \ =&[1,0]\lambda \sin(\varphi -\varphi ')+[1,2]\lambda ''\sin(\varphi ''-\varphi ')\\+[1,3]&\lambda '''\sin(\varphi '''-\varphi ')+[1,4]\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\varphi ')+[1,5]\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\sin(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-\varphi '),\\\\{\frac {d\lambda ''}{dt}}\ =&[2,0]\lambda \sin(\varphi -\varphi '')+[2,1]\lambda '\sin(\varphi '-\varphi '')\\+[2,3]&\lambda '''\sin(\varphi '''-\varphi '')+[2,4]\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\varphi '')+[2,5]\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\sin(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-\varphi ''),\\\\{\frac {d\lambda '''}{dt}}=&[3,0]\lambda \sin(\varphi -\varphi ''')+[3,1]\lambda '\sin(\varphi '-\varphi ''')\\+[3,2]&\lambda ''\sin(\varphi ''-\varphi ''')+[3,4]\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\varphi ''')+[3,5]\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\sin(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-\varphi '''),\\\\{\frac {d\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{dt}}=&[4,0]\lambda \sin(\varphi -\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})+[4,1]\lambda '\sin(\varphi '-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\\+[4,2]&\lambda ''\sin(\varphi ''-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})+[4,3]\lambda '''\sin(\varphi '''-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})+[4,5]\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\sin(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}),\\\\{\frac {d\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{dt}}=&[5,0]\lambda \sin(\varphi -\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}})+[5,1]\lambda '\sin(\varphi '-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}})\\+[5,2]&\lambda ''\sin(\varphi ''-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}})+[5,3]\lambda '''\sin(\varphi '''-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}})+[5,4]\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}).\end{aligned}}$

On substituera donc, dans ces formules, les valeurs de $\varphi ,\varphi ',\ldots ,\lambda ,$$\lambda ',\ldots$ pour l’époque donnée, et comme les coefficients marqués par des crochets sont déjà exprimés en secondes, on aura aussi en secondes les variations annuelles des aphélies et des excentricités relativement à la même époque ; mais on sait que la plus grande équation pour une excentricité peu considérable $\lambda ,$ est à très-peu près $2\lambda +{\frac {11\lambda ^{3}}{48}}\,;$ donc les quantités ${\frac {2d\lambda }{dt}},{\frac {2d\lambda '}{dt}},\ldots$ exprimeront elles-mêmes les variations annuelles des plus grandes équations des Planètes, en négligeant les quantités du troisième ordre.