10. De ce que nous venons de démontrer résulte une méthode fort simple pour transformer l’équation générale du no 5 par la substitution d’autres variables quelconques à la place de
Soit, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {T} =m{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}}+m'{\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{2dt^{2}}}+m''{\frac {dx''^{2}+dy''^{2}+dz''^{2}}{2dt^{2}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7102ab9cea1e53e7e8d6a2a49c384ad9d2e67a5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} &=m\ \ \int \left(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots \right)\\&+m'\ \int \left(\mathrm {P} 'dp'+\mathrm {Q} 'dq'+\mathrm {R} 'dr'+\ldots \right)\\&+m''\int \left(\mathrm {P} ''dp''+\mathrm {Q} ''dq''+\mathrm {R} ''dr''+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca61e2484fdc46481b3b6180ec7599e62a14ec2)
Et supposons
exprimées par d’autres variables quelconques
On substituera les valeurs données de
en
dans les deux quantités
et
on différentiera ensuite suivant
en regardant
et
comme des variables particulières ; et l’équation générale deviendra
![{\displaystyle \left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}\right)\delta \varphi +\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}\right)\delta \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950a9d542be25ad79a05274a7307244ad0a0cd20)
![{\displaystyle +\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \omega }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \omega }}\right)\delta \omega +\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034d6d9999329bd32feb21fed97cae0b7e4ba032)
en entendant par
le coefficient de
dans la différentielle de
par
le coefficient de
dans la même différentielle ; et ainsi du reste.
11. Si les variables
sont indépendantes entre elles (et l’on peut toujours les prendre telles, qu’elles le soient), on aura sur-lechamp (6), pour le mouvement du système, ces équations particulières
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}=&0,\\d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}=&0,\\d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \omega }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \omega }}=&0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/230ccfa73117b84ec882425707787d721d4c7255)