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Quant au degré de précision de ces réductions, il n’est pas difficile de se convaincre qu’elles sont exactes aux quantités du troisième ordre près, en regardant les inclinaisons à l’écliptique comme des quantités du premier ordre ; ainsi, vu la petitesse effective de ces inclinaisons pour les Planètes de notre système, on pourra toujours employer les réductions dont il s’agit comme si elles étaient tout à fait rigoureuses.

19. À l’égard du changement de position de l’écliptique vraie par rapport à l’équateur, on le déterminera facilement d’après celui qui a lieu relativement à l’écliptique fixe, et qui dépend des quantités $s'''=\theta '''\sin \omega ''',$$u'''=\theta '''\cos \omega ''',$

En effet, comme $\theta '''$ est la tangente d’inclinaison, ou l’inclinaison elle-même (à cause de sa petitesse) de l’écliptique vraie avec l’écliptique fixe, et $\omega '''$ la longitude du nœud ou du point d’intersection de ces écliptiques ; si l’on nomme de plus $\mathrm {I}$ l’inclinaison ou l’obliquité de l’écliptique fixe de 1700 sur l’équateur, $\mathrm {I} +i$ l’obliquité de l’écliptique vraie, $\omega '''-\eta$ la longitude du nœud des deux écliptiques comptée sur l’écliptique vraie, tandis que la longitude $\omega '''$ du même nœud est comptée sur l’écliptique fixe ; enfin $\varepsilon$ l’arc de l’équateur compris entre les deux écliptiques ; on aura évidemment un triangle sphérique formé par les trois côtés $\varepsilon ,\omega ''',\omega '''-\eta ,$ et dans lequel les angles opposés à ces côtés seront $\theta ''',\ 180^{\circ }-\mathrm {I} -i,\ \mathrm {I} .$ De sorte que par les propriétés connues on aura ces formules

$\cos(\mathrm {I} +i)=\cos \mathrm {I} \cos \theta '''-\sin \mathrm {I} \sin \theta '''\cos \omega ''',$

${\frac {\sin \omega '''}{\sin(\mathrm {I} +i)}}={\frac {\sin \varepsilon }{\sin \theta '''}}={\frac {\sin(\omega '''-\eta )}{\sin \mathrm {I} }},$

d’où l’on tirera $i,\varepsilon$ et $\eta .$

Or, en regardant $\theta '''$ comme très-petit, $i$ et $\eta$ seront également très-petits du même ordre, et l’on trouvera par la méthode différentielle

$i=\theta '''\cos \omega ''',\quad \varepsilon ={\frac {\theta '''\sin \omega '''}{\sin \mathrm {I} }},\quad \eta ={\frac {i\operatorname {tang} \omega '''}{\operatorname {tang} \mathrm {I} }}={\frac {\theta '''\sin \omega '''}{\operatorname {tang} \mathrm {I} }}\,;$

donc

$i=u''',\quad \varepsilon ={\frac {s'''}{\sin \mathrm {I} }},\quad \eta ={\frac {s'''}{\operatorname {tang} \mathrm {I} }}.$