Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/243

${\begin{alignedat}{2}{\frac {ds^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{dt}}\ &+{\Bigl [}(5,0)+(5,1)+(5,2)+(5,3)+(5,4){\Bigr ]}u^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&-(5,0)u-(5,1)u'-(5,2)u''-(5,3)u'''-(5,4)u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=&0,\\{\frac {du^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{dt}}\ &-{\Bigl [}(5,0)+(5,1)+(5,2)+(5,3)+(5,4){\Bigr ]}s^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&+(5,0)s+(5,1)s'+(5,2)s''+(5,3)s'''+(5,4)s^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=&0.\end{alignedat}}$

Quant à la variable $t,$ elle représente, dans ces équations, le nombre entier ou fractionnaire des années Juliennes écoulées depuis une époque fixe qui est encore arbitraire, de sorte que $t$ sera positif pour les temps postérieurs à cette époque et négatif pour les antérieurs.

18. Nous avons supposé jusqu’ici que les orbites des Planètes étaient rapportées à une écliptique fixe, c’est-à-dire au plan dans lequel la Terre s’est mue à une époque donnée ; et nous avons rapporté également à ce même plan la position variable de l’écliptique réelle ou de la vraie orbite de la Terre, pour un instant quelconque. Mais en Astronomie on a coutume de rapporter immédiatement les orbites des Planètes à cette écliptique réelle ; on rapporte ensuite la position variable de celle-ci à celle de l’équateur, en tenant compte des changements auxquels ce dernier plan est lui-même sujet. Ainsi, pour rapprocher autant qu’il est possible nos formules des méthodes astronomiques, il faut encore faire voir comment elles peuvent servir à déterminer directement la position des orbites des Planètes par rapport au vrai plan de l’écliptique.

Pour cela on se rappellera que la tangente de la latitude correspondante à une longitude $q,$ pour un point quelconque d’une-orbite dont la tangente d’inclinaison est $\theta$ et la longitude du nœud est $\omega ,$ est exprimée, en général, par $\theta \sin(q-\omega ),$ comme on l’a vu dans la première Partie ; ce qui est d’ailleurs connu par les propriétés des triangles sphériques rectangles. Ainsi, en supposant deux orbites rapportées premièrement à l’écliptique fixe, et ensuite l’une à l’autre, et nommant, $\theta ,\theta '$ les tangentes de leurs inclinaisons à l’écliptique, $\omega ,\omega '$ les longitudes de leurs nœuds ascendants sur ce plan, $\vartheta$ la tangente de l’inclinaison de l’une à l’autre, et $\Omega$ la longitude du nœud ascendant de la première sur la seconde,