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Cette quantité résulte évidemment de celle qui exprime la valeur de

${\frac {1}{2}}\delta \left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right),$

si l’on y change les signes de tous les termes qui contiennent des différences affectées de la simple caractéristique $\delta ,$ et que, dans les autres termes où se trouvent les différences affectées de la double caractéristique $\delta d,$ on efface la $d$ après la $\delta ,$ et qu’on l’applique aux quantités par lesquelles ces différences sont multipliées.

Ainsi l’on changera le terme ${\frac {1}{2}}\delta \mathrm {L} d\varphi ^{2}$ en $-{\frac {1}{2}}\delta \mathrm {L} d\varphi ^{2},$ le terme $\mathrm {L} d\varphi \delta d\varphi$ en $d(\mathrm {L} d\varphi )\delta \varphi ,$ et ainsi des autres.

Cette règle est, comme on voit, très-simple, et facilite extrêmement le mécanisme du calcul que notre méthode demande. On pourrait la démontrer à priori ; mais nous avons préféré la démonstration précédente, comme étant plus sensible et plus convaincante.

9. À l’égard des termes

$\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots$

et de leurs semblables, on remarquera que dans le cas de la nature les forces $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ sont ordinairement des fonctions des distances $p,q,r,$ en sorte que les termes dont il s’agit sont tous intégrables ; ce qui fournit aussi un moyen de simplifier beaucoup le calcul de ces termes ; car il n’y aura qu’à intégrer d’abord à l’ordinaire la quantité

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots$

et la redifférentier ensuite relativement à la caractéristique $\delta .$

Dans le Système du monde on a

$\mathrm {P} ={\frac {f}{p^{2}}},\quad \mathrm {Q} ={\frac {g}{q^{2}}},\quad \mathrm {R} ={\frac {h}{r^{2}}},\ldots ,$

$f,g,h,\ldots$ étant des constantes ; donc on aura dans ce cas

$\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots =-\delta \left({\frac {f}{p}}+{\frac {g}{q}}+{\frac {h}{r}}+\ldots \right).$