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et de même

$\delta x={\frac {dx}{d\varphi }}\delta \varphi +{\frac {dx}{d\psi }}\delta \psi +{\frac {dx}{d\omega }}\delta \omega +\ldots .$

Donc

${\begin{aligned}dx^{2}=&\left({\frac {dx}{d\varphi }}\right)^{2}d\varphi ^{2}+2{\frac {dx}{d\varphi }}{\frac {dx}{d\psi }}d\varphi d\psi +\left({\frac {dx}{d\psi }}\right)^{2}d\psi ^{2}+\ldots ,\\dx\delta x=&\left({\frac {dx}{d\varphi }}\right)^{2}d\varphi \delta \varphi +{\frac {dx}{d\varphi }}{\frac {dx}{d\psi }}(d\varphi \delta \psi +d\psi \delta \varphi )+\left({\frac {dx}{d\psi }}\right)^{2}d\psi \delta \psi +\ldots \,;\end{aligned}}$

et ainsi des autres quantités semblables $dy^{2},dy\delta y,dz^{2},dz\delta z.$

Ainsi la quantité

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

sera de la forme

$\mathrm {L} d\varphi ^{2}+2\mathrm {M} d\varphi d\psi +\mathrm {N} d\psi ^{2}+\ldots ,$

$\mathrm {L,M,N} ,$ étant des fonctions connues des variables finies $\varphi ,\psi ,\ldots \,;$ et de même la quantité

$dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z$

sera de la forme

$\mathrm {L} d\varphi \delta \varphi +\mathrm {M} (d\varphi \delta \psi +d\psi \delta \varphi )+\mathrm {N} d\psi \delta \psi +\ldots .$

Donc, en différentiant la première de ces quantités par $\delta ,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\delta &\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\delta \mathrm {L} d\varphi ^{2}+\mathrm {L} d\varphi \delta d\varphi +\delta \mathrm {M} d\varphi d\psi +\mathrm {M} d\psi \delta d\varphi +\mathrm {M} d\varphi \delta d\psi +\ldots ,\end{aligned}}$

et en différentiant la seconde par $d,$ on aura pareillement

${\begin{aligned}d&\left(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z\right)\\&=d(\mathrm {L} d\varphi )\delta \varphi +\mathrm {L} d\varphi d\delta \varphi \\&\qquad \qquad +d(\mathrm {M} d\varphi )\delta \psi +\mathrm {M} d\varphi d\delta \varphi +d(\mathrm {M} d\psi )\delta \varphi +\mathrm {M} d\psi d\delta \varphi +\ldots .\end{aligned}}$

Retranchant donc la quantité précédente de cette dernière, en se souvenant que $\delta d\varphi$ est la même chose que $d\delta \varphi ,\ldots ,$ on aura la valeur de

$d^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z,$

laquelle sera exprimée ainsi

$d(\mathrm {L} d\varphi )\delta \varphi -{\frac {\delta \mathrm {L} d\varphi ^{2}}{2}}+d(\mathrm {M} d\varphi )\delta \psi +d(\mathrm {M} d\psi )\delta \varphi -\delta \mathrm {M} d\varphi d\psi +\ldots .$