Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/222

duire la masse, il faut ensuite adopter quelque hypothèse sur la densité, ce qui rend les résultats douteux et précaires. Cet objet mérite donc une discussion particulière ; elle est même d’autant plus nécessaire qu’on trouve dans plusieurs Ouvrages des valeurs assez différentes des masses des Planètes et de leurs densités, sans que les Auteurs y aient donné les détails convenables pour justifier ces différences.

On sait par les Théorèmes de Newton que la force attractive absolue d’un corps, autour duquel un autre corps décrit une ellipse quelconque, est en raison directe du cube de la distance moyenne et inverse du carré du temps périodique ; et cette Proposition, que Newton a démontrée pour les corps qui décrivent des ellipse invariables, est vraie aussi lorsqu’on a égard aux variations séculaires des éléments. Car nous avons vu dans la première Partie (34) que dans ce cas la vitesse de la longitude moyenne est toujours représentée par ${\frac {\Delta ^{\frac {3}{2}}}{g}},$ et la distance moyenne par ${\frac {g}{\Delta }},$ $g$ étant la force attractive absolue du centre, c’est-à-dire la force centrale à la distance $1\,;$ ainsi, en nommant $r$ la distance moyenne et $m$ la vitesse du mouvement moyen, on a

$\Delta ={\frac {g}{r}},\quad {\frac {\sqrt {g}}{r^{\frac {3}{2}}}}=m\,;$

donc

$g=m^{2}r^{3}\,;$

mais il est évident que la vitesse $m$ est toujours réciproquement proportionnelle au temps périodique ; par conséquent, si l’on nomme $t$ ce temps, on aura, en général,

$g={\frac {r^{3}}{t^{2}}}.$

Soient maintenant $\mathrm {S}$ la masse du Soleil, $\mathrm {P}$ celle d’une Planète principale, $r$ la distance moyenne de cette Planète au Soleil, et $t$ son temps périodique soient de plus $\rho$ la distance moyenne d’un satellite de la même Planète à cette Planète, et $\theta$ son temps périodique. Les forces attractives