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déterminées $\varphi ,\psi ,\omega ,\ldots$ serviront à déterminer ces mêmes variables, et par conséquent le mouvement de tout le système.

7. Telle est la méthode générale ; mais elle est susceptible de différentes simplifications que nous exposerons ailleurs. Nous nous contenterons ici de montrer comment on peut abréger le calcul nécessaire pour réduire les quantités

$d^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z$

en fonctions de $\varphi ,\psi ,\omega ,\ldots .$

Pour cet effet je remarque que, puisque les deux caractéristiques $d$ et $\delta$ représentent des différences ou variations indépendantes entre elles, toute quantité affectée de ces deux caractéristiques à la fois doit avoir la même valeur, dans quelque ordre qu’elles soient placées, ce qui est facile à démontrer et forme le principe fondamental du Calcul des variations. Ainsi $d\delta x$ sera la même chose que $\delta dx,$ $d^{2}\delta x$ la même chose que $\delta d^{2}x,$ et ainsi du reste.

Il s’ensuit de là que la quantité

$d^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z$

sera la même chose que celle-ci

$d\left(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z\right)-{\frac {1}{2}}\delta \left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)\,;$

de sorte qu’il ne s’agira que de trouver la valeur des deux quantités

$dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z,\quad dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

en $\varphi ,\psi ,\omega ,\ldots ,$ et leurs différences, et de différentier ensuite la premières par $d$ et la seconde par $\delta ,$ c’est-à-dire en afiectant les différences des caractéristiques $d$ ou $\delta .$

8. Or $x$ étant une fonction de $\varphi ,\psi ,\omega ,\ldots ,$ on aura

$dx={\frac {dx}{d\varphi }}d\varphi +{\frac {dx}{d\psi }}d\psi +{\frac {dx}{d\omega }}d\omega +\ldots ,$