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Ainsi $r$ sera la distance moyenne de Saturne au Soleil, $\mathrm {T}$ sa masse, ou plutôt le rapport de cette masse à celle du Soleil, $\lambda$ son excentricité en parties de sa distance moyenne, $\varphi$ la longitude de son aphélie, comptée depuis un point fixe dans le ciel, $\theta$ la tangente de l’inclinaison de son orbite sur l’écliptique regardée comme un plan fixe, et $\omega$ la longitude de son nœud ascendant sur ce même plan. Ces mêmes lettres marquées d’un trait représenteront les mêmes quantités pour Jupiter, et ainsi de suite.

On aura donc à considérer six orbites mobiles et variables en même temps, et par conséquent on aura à résoudre deux systèmes d’équations semblables à celles des n^os 40 et 50 de la première Partie, et qui dans chaque système seront au nombre de douze et contiendront trente coefficients différents qu’il faudra calculer numériquement. Ces coefficients, suivant la notation des mêmes numéros, seront représentés par les symboles $(m,n)$ et $[m,n],$ en prenant pour $m$ et $n$ deux termes quelconque de la série $0,1,2,3,4,5\,;$ et voici la suite des opérations qu’il faudra faire pour en trouver les valeurs.

3. Soient, en général,

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&1+\alpha ^{2}z^{2}+\beta ^{2}z^{4}+\gamma ^{2}z^{6}+\delta ^{2}z^{8}+\ldots ,\\\mathrm {N} =&\alpha z-\alpha \beta z^{3}-\beta \gamma z^{5}-\gamma \delta z^{7}-\ldots ,\end{aligned}}$

en désignant par $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ les coefficients de la série qui exprime la racine carrée d’un binôme, c’est-à-dire

$\alpha ={\frac {1}{2}},\quad \beta ={\frac {1}{2}}.{\frac {1}{4}},\quad \gamma ={\frac {1}{2}}.{\frac {1}{4}}.{\frac {3}{6}},\quad \delta ={\frac {1}{2}}.{\frac {1}{4}}.{\frac {3}{6}}.{\frac {5}{8}},\ldots .$

On calculera les valeurs de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ en faisant successivement

$z={\frac {r'}{r}},\ {\frac {r''}{r}},\ldots ,\quad {\frac {r''}{r'}},\ {\frac {r'''}{r'}},\ldots ,$

et ainsi de suite, suivant toutes les combinaisons des six distances moyennes

$r,r',r'',r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$