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Mais on a (54), aux quantités de l’ordre de $\mathrm {T',T''} ,\ldots$ près,

${\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{\sqrt {r^{3}}}}\,;$

donc, puisque d’après les suppositions des n^os 40 et 50 on a

${\frac {\mathrm {T} '\alpha '}{\sqrt {r^{3}}}}=(0,1),\quad {\frac {\mathrm {T} ''\alpha ''}{\sqrt {r^{3}}}}=(0,2),\ldots ,$

et

${\frac {\mathrm {T} '\beta '}{\sqrt {r^{3}}}}=-[0,1],\quad {\frac {\mathrm {T} ''\beta ''}{\sqrt {r^{3}}}}=-[0,2],\ldots ,$

il est visible que l’équation dont il s’agit étant divisée par ${\frac {dp}{dt}}$ se réduira à cette forme

$a\mathrm {F} -\left[(0,1)+(0,2)+\ldots \right]\mathrm {F} +[0,1]\mathrm {F} '+[0,2]\mathrm {F} ''+\ldots =0,$

et les équations analogues se réduiront de la même manière à celles-ci

${\begin{aligned}&a\mathrm {F} '\ -\left[(1,0)+(1,2)+\ldots \right]\mathrm {F} '\,+[1,0]\mathrm {F} +[1,2]\mathrm {F} ''+\ldots =0,\\&a\mathrm {F} ''-\left[(2,0)+(2,1)+\ldots \right]\mathrm {F} ''+[2,0]\mathrm {F} +[2,1]\mathrm {F} '\ +\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ces équations, en y changeant, si l’on veut, les lettres $\mathrm {F}$ en $\mathrm {A} ,$ sont les mêmes que celles du n^o  51 ; d’où il suit que les quantités $\mathrm {A,A'} ,\ldots$ et $a$ seront aussi les mêmes de part et d’autre. Et, comme les équations différentielles de $\xi$ et $\psi$ sont linéaires, il est clair que l’expression de $\xi$ sera composée d’autant de termes semblables que la quantité $a$ aura de valeurs différentes ; par conséquent cette expression sera de la même forme absolument que celle que nous avons trouvée plus haut dans le n^o  52, en mettant dans celle-ci, au lieu de $q,$ sa valeur $p+\psi ,$ et négligeant la quantité $\psi ,$ parce qu’elle produirait des termes du second ordre que nous rejetons ; ce qui montre l’accord des deux méthodes à cet égard.

56. Pour faire voir aussi cet accord relativement aux expressions de $\zeta ,$ je commence par substituer, dans l’équation différentielle de $z$ (2),