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et l’on aura de même par les autres équations

$f'=+2\mathrm {F} ',\ldots .$

Donc les quantités $a,f+2\mathrm {F} ,f'+2\mathrm {F} ',\ldots$ seront très-petites de l’ordre de $\mathrm {T,T'} ,\ldots \,;$ par conséquent il faudra rejeter partout les carrés, les cubes, $\ldots$ de $a,$ et dans les termes qui sont déjà multipliés par $\mathrm {T,T'} ,\ldots$ il faudra faire

$a=0,\quad f=-2\mathrm {F} ,\quad f'=-2\mathrm {F} ',\ldots .$

De cette manière la seconde des deux équations ci-dessus donnera d’abord

$f=-2\left(1+a{\frac {dt}{dp}}\right)\mathrm {F} +\mathrm {T} '{\frac {dt^{2}}{dp^{2}}}\left({\frac {r'}{2r^{2}}}{\frac {d\mathrm {B} '}{dr'}}+{\frac {\mathrm {B} '}{r^{2}}}\right)\mathrm {F} '$

$+\mathrm {T} ''{\frac {dt^{2}}{dp^{2}}}\left({\frac {r''}{2r^{2}}}{\frac {d\mathrm {B} ''}{dr''}}+{\frac {\mathrm {B} ''}{r^{2}}}\right)\mathrm {F} ''+\ldots ,$

et la première deviendra ensuite

${\begin{aligned}&0=2a{\frac {dp}{dt}}\mathrm {F} \\&-\mathrm {T} '\ \left[\left({\frac {2}{r}}{\frac {d\mathrm {A} '\,}{dr}}+{\frac {d^{2}\mathrm {A} '\,}{dr^{2}}}\right)\mathrm {F} +\left({\frac {r'\ }{2r}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} '\ }{drdr'}}+{\frac {r'\ }{r^{2}}}{\frac {d\mathrm {B} '\ }{dr'}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {B} '\ }{dr}}+{\frac {2\mathrm {B} '\,}{r^{2}}}\right)\mathrm {F} '\ \right]\\&-\mathrm {T} ''\left[\left({\frac {2}{r}}{\frac {d\mathrm {A} ''}{dr}}+{\frac {d^{2}\mathrm {A} ''}{dr^{2}}}\right)\mathrm {F} +\left({\frac {r''}{2r}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} ''}{drdr''}}+{\frac {r''}{r^{2}}}{\frac {d\mathrm {B} ''}{dr''}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {B} ''}{dr}}+{\frac {2\mathrm {B} ''}{r^{2}}}\right)\mathrm {F} ''\right]\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Or on a vu dans le n^o 44 que

$r'{\frac {d\mathrm {B} '}{dr'}}+{\frac {rr'}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} '}{drdr'}}=-\mathrm {B} '-2r{\frac {d\mathrm {B} '}{dr}}-{\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} '}{dr^{2}}},$

et de même

$r''{\frac {d\mathrm {B} ''}{dr''}}+{\frac {rr''}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} ''}{drdr''}}=-\mathrm {B} ''-2r{\frac {d\mathrm {B} ''}{dr}}-{\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} ''}{dr^{2}}},$

et ainsi des autres quantités analogues ; donc, faisant ces substitutions et employant les quantités $\alpha ',\alpha '',\ldots ,$ $\beta ',\beta '',\ldots$ du n^o 49, l’équation précédente deviendra

$0=\alpha {\frac {dp}{dt}}\mathrm {F} -\mathrm {T} '{\frac {\alpha '\mathrm {F} +\beta '\mathrm {F} '}{r^{3}}}-\mathrm {T} ''{\frac {\alpha ''\mathrm {F} +\beta ''\mathrm {F} ''}{r^{3}}}-\ldots .$