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valeur qu’on substituera dans la première des deux équations précédentes.

Si maintenant on substitue aussi dans l’une et dans l’autre, à la place de $\xi ,\psi ,\xi ',\psi ',\ldots$ les expressions indiquées ci-dessus, et qu’après avoir développé les produits des sinus et cosinus en sinus et cosinus simples, on égale à zéro dans la première la somme des coefficient de $\cos(p-at-\alpha ),$ et dans la seconde la somme des coefficients de $\sin(p-at-\alpha ),$ on aura

${\begin{aligned}0=&-\left({\frac {dp}{dt}}-a\right)^{2}\mathrm {F} -{\frac {3dp^{2}}{dt^{2}}}\mathrm {F} -{\frac {2dp}{dt}}\left({\frac {dp}{dt}}-a\right)f\\&-\mathrm {T} '\ \left[\left({\frac {2}{r}}{\frac {d\mathrm {A} '}{dr}}\ +{\frac {d^{2}\mathrm {A} '}{dr^{2}}}\ \right)\mathrm {F} +\left({\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} '}{drdr'}}\ +{\frac {2}{rr'^{3}}}\ \right){\frac {r'\ \mathrm {F} '\ }{2}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \left.-\left({\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {B} '\ }{dr}}-{\frac {1}{rr'^{2}\ }}\right){\frac {f'\ }{2}}\right]\\&-\mathrm {T} ''\ \left[\left({\frac {2}{r}}{\frac {d\mathrm {A} ''}{dr}}\ +{\frac {d^{2}\mathrm {A} ''}{dr^{2}}}\ \right)\mathrm {F} +\left({\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} ''}{drdr''}}\ +{\frac {2}{rr''^{3}}}\ \right){\frac {r''\ \mathrm {F} ''\ }{2}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \left.-\left({\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {B} ''\ }{dr}}-{\frac {1}{rr''^{2}\ }}\right){\frac {f''}{2}}\right]\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\0=&-\left({\frac {dp}{dt}}-a\right)^{2}f-{\frac {2dp}{dt}}\left({\frac {dp}{dt}}-a\right)\mathrm {F} \\&+\mathrm {T} '\ \left[\left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d\mathrm {B} '}{dr'}}\ +{\frac {2}{rr'^{3}}}\ \right){\frac {r'\ \mathrm {F} '}{2}}-\left({\frac {\mathrm {B} '\ }{r^{2}}}-{\frac {1}{rr'^{2}\ }}\right){\frac {f'}{2}}\right]\\&+\mathrm {T} ''\left[\left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d\mathrm {B} ''}{dr''}}+{\frac {2}{rr''^{3}}}\right){\frac {r''\mathrm {F} ''}{2}}-\left({\frac {\mathrm {B} ''}{r^{2}}}-{\frac {1}{rr''^{2}}}\right){\frac {f''}{2}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On trouvera des équations analogues d’après les équations différentielles de $\xi '$ et de $\psi ',$ et d’après celles de $\xi ''$ et de $\psi '',$ et ainsi de suite ; et ces équations ne différeront des précédentes qu’en ce que les lettres qui n’ont aucun trait en auront respectivement un, deux, $\ldots$ (à l’exception de $a$ et de $t$ qui demeurent les mêmes pour toutes les équations), et qu’en même temps les traits manqueront à celles qui en ont un, deux, $\ldots .$

55. Je remarque maintenant que les quantités $\mathrm {T,T',T''} ,\ldots$ doivent être supposées très-petites, et qu’on en doit négliger les puissances et les produits de deux ou de plusieurs dimensions (49). Or, si l’on regarde d’abord ces quantités comme nulles, les équations précédentes donnent

$a=0,\quad f=-2\mathrm {F} ,$