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de $\xi '$ et de $\psi '$ et l’on égalera à zéro les coefficients des sinus et cosinus de $p'-at-\alpha ,$ et ainsi de suite.

Or il est visible que les quantités $\xi$ et $\psi$ ne peuvent donner des sinus ou cosinus de $p-at-\alpha$ qu’autant qu’elles ne sont multipliées par aucun sinus ni cosinus ; qu’au contraire les quantités $\xi ',\psi '$ ne donneront de pareils sinus ou cosinus qu’autant qu’elles se trouveront multipliées par le sinus ou cosinus de $p-p',$ et ainsi de suite. D’où il suit qu’en substituant dans les équations de $\xi$ et de $\psi$ la valeur de la fonction $\Omega$ (43), il suffira d’avoir égard aux termes de la forme dont nous venons de parler. Ainsi l’on pourra d’abord les réduire à celles-ci

${\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-\left({\frac {dp^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {2}{r^{3}}}\right)\xi -{\frac {2dpd\psi }{dt^{2}}}-{\frac {dp^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}\\&-\mathrm {T} '\ \left[{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {A} '}{dr}}\ +{\frac {d^{2}\mathrm {A} '}{dr^{2}}}\ \xi +\left({\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} '}{drdr'}}\ +{\frac {2}{rr'^{3}}}\ \right)r'\ \cos(p-p'\ )\times \xi '\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \left.+\left({\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {B} '\ }{dr}}-{\frac {1}{rr'^{2}\ }}\right)\sin(p-p'\ )\times \psi '\right]\\&-\mathrm {T} ''\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {A} ''}{dr}}+{\frac {d^{2}\mathrm {A} ''}{dr^{2}}}\xi +\left({\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} ''}{drdr''}}+{\frac {2}{rr''^{3}}}\right)r''\cos(p-p'')\times \xi ''\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \left.+\left({\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {B} ''}{dr}}-{\frac {1}{rr''^{2}}}\right)\sin(p-p'')\times \psi ''\right]\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\0=&{\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}+{\frac {2dpd\xi }{dt^{2}}}\\&+\mathrm {T} '\ \left[\left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d\mathrm {B} '}{dr'}}\ +{\frac {2}{rr'^{3}}}\ \right)r'\ \sin(p-p'\ )\times \xi '\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-\left({\frac {\mathrm {B} '\ }{r^{2}}}-{\frac {1}{rr'^{2}\ }}\right)\cos(p-p'\ )\times \psi '\right]\\&+\mathrm {T} ''\left[\left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d\mathrm {B} ''}{dr''}}+{\frac {2}{rr''^{3}}}\right)r''\sin(p-p'')\times \xi ''\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-\left({\frac {\mathrm {B} ''}{r^{2}}}-{\frac {1}{rr''^{2}}}\right)\cos(p-p'')\times \psi ''\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

J’ai conservé dans la première les termes constants, parce qu’ils doivent former une équation à part servant à déterminer la relation entre ${\frac {dp}{dt}}$ et $r,$ et à satisfaire à la condition que $\xi$ ne renferme aucun terme constant. Cette équation de condition sera donc

$-{\frac {dp^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}-\mathrm {T} '{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {A} '}{dr}}-\mathrm {T} ''{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {A} ''}{dr}}-\ldots =0,$

laquelle donne

${\frac {1}{r^{3}}}={\frac {dp^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {T} '{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {A} '}{dr}}+\mathrm {T} ''{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {A} ''}{dr}}+\ldots ,$