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on égalera d’abord à zéro les termes tout constants ${\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {dp^{2}}{dt^{2}}},$ parce que $\xi$ n’en doit renfermer aucun de ce genre ; on aura

${\frac {1}{r^{3}}}={\frac {dp^{2}}{dt^{2}}},$

ce qui réduira l’équation à

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+{\frac {dp^{2}}{dt^{2}}}\xi =0,$

laquelle a évidemment pour intégrale

$\xi =\mathrm {F} \cos(p-\alpha )\,;$

et de là on aura

$\psi =-2\mathrm {F} \sin(p-\alpha ),$

$\mathrm {F}$ et $\alpha$ étant des constantes arbitraires.

On aura de pareilles expressions pour $\xi ',\psi ',\xi '',\psi '',\ldots$ en marquant simplement les termes d’un, deux, $\ldots$ traits.

Supposons à présent qu’en ayant égard aux forces perturbatrices les termes que nous venons de trouver dans les expressions de $\xi$ et $\psi$ deviennent

$\xi =\mathrm {F} \cos(p-at-\alpha ),\quad \psi =f\sin(p-at-\alpha ),$

$\mathrm {F} ,f$ étant des constantes indéterminées ainsi que $\alpha$ et $a\,;$ et comme dans ce cas les équations de $\xi$ et $\psi$ renferment aussi $\xi ',\psi ',\xi '',\psi '',\ldots ,$ supposons qu’il entre aussi dans les expressions de ces dernières variables des termes analogues, en sorte qu’on ait en même temps

${\begin{alignedat}{2}\xi '\ &=\mathrm {F} '\ \cos(p'\,-at-\alpha ),\qquad &\psi '\ &=f'\ \sin(p'\,-at-\alpha ),\\\xi ''&=\mathrm {F} ''\cos(p''-at-\alpha ),&\psi ''&=f''\sin(p''-at-\alpha ),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

$\mathrm {F',F''} ,\ldots ,f',f'',\ldots ,$ étant de nouvelles constantes indéterminées.

Pour vérifier ces suppositions et déterminer en même temps les constantes arbitraires, on fera d’abord les substitutions précédentes dans les équations de $\xi$ et de $\psi ,$ et l’on y égalera à zéro les coefficients des sinus et cosinus de $p-at-\alpha \,;$ on les fera ensuite de même dans les’équations