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et la quantité ${\frac {d\Omega }{dq}}$ deviendra

${\frac {d\Omega }{dp}}+{\frac {d^{2}\Omega }{drdp}}r\xi +{\frac {d^{2}\Omega }{dr'dp}}r'\xi '+\ldots +{\frac {d^{2}\Omega }{dp^{2}}}\psi +{\frac {d^{2}\Omega }{dpdp'}}\psi '+\ldots .$

Ainsi, en faisant $g=1,$ comme dans le n^o 37, les équations précédentes deviendront

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-{\frac {dp^{2}}{dt^{2}}}(1+\xi )-{\frac {2dpd\psi }{dt^{2}}}+{\frac {1-2\xi }{r^{3}}}$

$+{\frac {1}{r}}{\frac {d\Omega }{dr}}+{\frac {d^{2}\Omega }{dr^{2}}}\xi +{\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}\Omega }{drdr'}}r'\xi '+\ldots +{\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}\Omega }{drdp}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}\Omega }{drdp'}}\psi '+\ldots =0,$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}+{\frac {2dpd\xi }{dt^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d\Omega }{dp}}&+{\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}\Omega }{drdp}}\xi +{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}\Omega }{dr'dp}}r'\xi '+\ldots \\&+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}\Omega }{dp^{2}}}\psi +{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}\Omega }{dpdp'}}\psi '+\ldots =0\,;\end{aligned}}$

et les quantités $r,r',\ldots$ seront désormais constantes.

Pour rapporter ces équations aux Planètes $\mathrm {T',T''} ,\ldots$ on n’aura besoin que d’y changer $r,p,\xi ,\psi$ en $r',p',\xi ',\psi ',$ ou $r'',p'',\xi '',\psi '',$ ou $\ldots ,$ et réciproquement ces quantités-ci en celles-là.

54. Si l’on supposait les forces perturbatrices nulles, on aurait, en effaçant les termes qui contiennent $\Omega$ et ses différences,

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-{\frac {dp^{2}}{dt^{2}}}(1+\xi )-{\frac {2dpd\psi }{dt^{2}}}+{\frac {1-2\xi }{r^{3}}}=0,$

${\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}+{\frac {2dpd\xi }{dt^{2}}}=0.$

La seconde donne

${\frac {d\psi }{dt}}=-{\frac {2dp}{dt}}\xi \,;$

il ne faut point de constante ici, puisque ${\frac {d\psi }{dt}}$ et $\xi$ n’en doivent renfermer aucune ; cette valeur étant substituée dans la première, elle deviendra

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\left({\frac {3dp^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}\right)\xi -{\frac {dp^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}=0\,;$