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à la place de $\mathrm {X,Y}$ (16, 29, 41), les deux premières se changent en

{\begin{aligned}&\left({\frac {d^{2}r-rdq^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {gr}{\rho ^{3}}}+{\frac {d\Omega }{dr}}\right)\cos q-\left({\frac {2drdq+rd^{2}q}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d\Omega }{dq}}\right)\sin q=0,\\&\left({\frac {d^{2}r-rdq^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {gr}{\rho ^{3}}}+{\frac {d\Omega }{dr}}\right)\sin q+\left({\frac {2drdq+rd^{2}q}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d\Omega }{dq}}\right)\cos q=0,\end{aligned}}

d’où l’on tire ces deux-ci

{\frac {d^{2}r-rdq^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {gr}{\rho ^{3}}}+{\frac {d\Omega }{dt}}=0,

{\frac {d.\left(r^{2}dq\right)}{dt^{2}}}+{\frac {d\Omega }{dq}}=0,

lesquelles serviront à déterminer le rayon vecteur $r$ et la longitude $q$ en $t.$

Ces équations se rapportent à la Planète $\mathrm {T} \,;$ on en aura de semblables pour chacune des autres Planètes $\mathrm {T',T''} ,\ldots ,$ en marquant seulement toutes les lettres d’un, deux,… traits.

Prenons maintenant la lettre $r$ pour désigner la distance moyenne, et représentons, comme plus haut, le rayon vecteur par $r(1+\xi )\,;$ soit aussi $p$ la longitude moyenne et $p+\psi$ l’expression de la longitude vraie ; il faudra : 1^o que $\xi$ ne renferme aucun terme constant, mais seulement des sinus et cosinus ; 2^o que ${\frac {dp}{dt}}$ soit une quantité constante et que ${\frac {d\psi }{dt}}$ ne contienne au contraire aucun terme tout constant.

On fera donc ces substitutions, et comme on suppose les orbites peu excentriques et peu inclinées, les quantités $\xi ,\psi$ et $z$ seront toujours très-petites, et nous en négligerons les puissances et les produits de deux ou de plusieurs dimensions. Or la fonction $\Omega$ se réduit dans cette hypothèse à une fonction de $r,r',\ldots ,$ $q,q',\ldots$ seulement (42) ; donc si, comme on en a usé dans ce numéro, on y change d’abord la lettre $q$ en $p,$ la quantité ${\frac {d\Omega }{dr}}$ deviendra

{\frac {d\Omega }{dr}}+{\frac {d^{2}\Omega }{dr^{2}}}r\xi +{\frac {d^{2}\Omega }{drdr'}}r'\xi '+\ldots +{\frac {d^{2}\Omega }{drdp}}\psi +{\frac {d^{2}\Omega }{drdp'}}\psi '+\ldots \,;