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comme on l’a vu dans le n^o 29, si l’on fait

$z=r\zeta$

($r$ est ici le rayon vecteur), et qu’on substitue pour $\mathrm {{\frac {P}{R}},{\frac {Q}{R}}}$ les valeurs de $s,u,$ qui sont exprimées d’une manière semblable à celles de $x,y,$ on aura aussi

$\zeta =\mathrm {A} \sin(q-at-\alpha )+\mathrm {B} \sin(q-bt-\beta )+\mathrm {C} \sin(q-ct-\gamma )+\ldots ,$

les constantes $\mathrm {A,B} ,\ldots ,$ $a,b,\ldots ,$ $\alpha ,\beta ,\ldots$ étant différentes de celles de l’expression de $\xi .$ Ce sont les premières valeurs approchées de $\xi$ et $\zeta .$

On aurait donc pu chercher d’abord ces valeurs par l’intégration immédiate des équations différentielles de $\xi$ et $\zeta ,$ et puis en déduire la loi des variations séculaires des excentricités des aphélies, des inclinaisons est des nœuds. C’est ainsi que j’en ai usé il y a longtemps dans ma Pièce sur les Satellites de Jupiter^[1], où j’ai donné le premier la véritable Théorie de ces valeurs, en résolvant d’une manière particulière les difficultés que l’intégration renferme et qui avaient échappé à tous ceux qui s’étaient occupés avant moi de la Théorie des Planètes. M. de Laplace a donné depuis, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour 1772, d’autres moyens de lever ces difficultés et d’arriver à la vraie forme des intégrales ; et, pour ne rien laisser à désirer sur le sujet que je traite, je vais faire voir ici, le plus simplement qu’il me sera possible, l’accord des formules, qui résultent de l’intégration des équations de $\xi$ et $\zeta \,;,$ avec celles que je viens de trouver.

53. Commençons par chercher ces équations d’après celles du n^o 2. En y substituant $r\cos q,r\sin q$ à la place de $x,y$ et ${\frac {d\Omega }{dx}},{\frac {d\Omega }{dy}},$ ou bien

${\frac {d\Omega }{dr}}\cos q-{\frac {d\Omega }{dq}}{\frac {\sin q}{r}},\quad {\frac {d\Omega }{dr}}\sin q+{\frac {d\Omega }{dq}}{\frac {\cos q}{r}},$

1. Cette Pièce, déjà citée, appartent à la troisième Section des Œuvres de Lagrange.
   (Note de l’Éditeur.)