Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/196

$a,\alpha ,\mathrm {A,A',A''} ,\ldots$ étant des quantités constantes indéterminées ; on substituera ces valeurs, et il viendra ces équations de condition entre les constantes

${\begin{aligned}&a\mathrm {A} \ \ -\left[(0,1)+(0,2)+\ldots \right]\mathrm {A} \,\ +[0,1]\mathrm {A} '+[0,2]\mathrm {A} ''+\ldots =0,\\&a\mathrm {A} '\ -\left[(1,0)+(1,2)+\ldots \right]\mathrm {A} '\,+[1,0]\mathrm {A} \ +[1,2]\mathrm {A} ''+\ldots =0,\\&a\mathrm {A} ''-\left[(2,0)+(2,1)+\ldots \right]\mathrm {A} ''+[2,0]\mathrm {A} \ +[2,1]\mathrm {A} '\ +\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

dont le nombre sera égal à celui des coefficients indéterminés $\mathrm {A,A',A''} ,\ldots \,;$ mais, puisque tous les termes de ces équations sont multipliés par un de ces coefficients, il s’ensuit que par leur moyen on ne peut déterminer que le rapport des mêmes coefficients, en sorte qu’il en demeurera toujours un, comme $\mathrm {A} ,$ indéterminé ; en effet, en éliminant successivement ces coefficients, on parviendra à une équation finale où il n’y aura plus d’inconnue que la constante $a,$ et qui servira par conséquent à déterminer cette constante. Cette équation se trouvera toujours d’un degré égal au nombre des coefficients $\mathrm {A,A',A''} ,\ldots ,$ qui est égal à celui des Planètes dont on considère l’action mutuelle, et aura en conséquence autant de racines.

Soient $a,b,c,\ldots$ ces différentes racines ; et prenant autant de coefficients arbitraires $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ et d’angles indéterminés $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ on aura par la Théorie des équations linéaires ces expressions complètes de $x,y,$ $x',y',\ldots$

${\begin{aligned}x\ &=\mathrm {A} \ \sin(at+\alpha )+\,\mathrm {B} \ \sin(bt+\beta )+\mathrm {C} \ \sin(ct+\gamma )+\ldots ,\\y\ &=\mathrm {A} \ \cos(at+\alpha )+\mathrm {B} \ \cos(bt+\beta )+\mathrm {C} \ \cos(ct+\gamma )+\ldots ,\\x'&=\mathrm {A} '\sin(at\,+\alpha )+\mathrm {B} '\sin(bt+\beta )+\mathrm {C} '\sin(ct+\gamma )+\ldots ,\\y'&=\mathrm {A} '\cos(at+\alpha )+\mathrm {B} '\cos(bt+\beta )+\mathrm {C} '\cos(ct+\gamma )+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

les constantes $\mathrm {B,B',B''} ,\ldots$ devant avoir entre elles-des rapports exprimés par des fonctions de $b$ semblables aux fonctions de $a$ qui expriment les