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Ces équations, analogues, comme on voit, à celles du n^o 40, serviront à déterminer les variations séculaires des excentricités et des aphélies, comme celles-là servent à déterminer les variations séculaires des inclinaisons et des nœuds. Car on aura ici

$x=\lambda \cos \eta \sin \varphi ,\quad y=\lambda \cos \eta \cos \varphi ,$

$\lambda$ étant l’excentricité, $\varphi$ la longitude de l’aphélie et $\eta$ sa latitude dépendante de l’équation

$\operatorname {tang} \eta =\theta \sin(\varphi -\omega )\,;$

et à cause de la petitesse de $\eta$ et de ce que nous négligeons les quantités très-petites au-dessus du premier ordre, on aura simplement $\lambda \sin \varphi ,\lambda \cos \varphi$ pour les valeurs de $x,y,$ et de même $\lambda '\sin \varphi ',\lambda '\cos \varphi ',\lambda ''\sin \varphi '',\lambda ''\cos \varphi '',\ldots$ pour celles de $x',y',x'',y'',\ldots ,$ où $\lambda ,\lambda ',\lambda '',\ldots$ sont les excentricités et $\varphi ,\varphi ',\varphi '',\ldots$ les longitudes des aphélies des Planètes $\mathrm {T,T',T''} ,\ldots .$

Si dans ces équations on change les quantités

$[0,1],\quad [0,2],\quad [1,0],\ldots$

en

$(0,1),\quad (0,2),\quad (1,0),\ldots ,$

et qu’on y prenne $t$ négatif, elles se réduisent à celles du n^o 40, les variables $x,y,\ldots ,x',y',\ldots$ répondant à $s,u,s',u',\ldots .$ Ainsi les excentricités $\lambda ,\lambda ',\ldots$ deviendront alors les tangentes $\theta ,\theta ',\ldots$ des inclinaisons, et les longitudes $\varphi ,\varphi ',\ldots$ des aphélies deviendront celles des nœuds $\omega ,\omega ',\ldots .$

51. Le Problème des variations séculaires est donc résolu analytiquement, puisqu’il est réduit à des équations dont l’intégration est connue. Celles du n^o 40 ont déjà été intégrées dans le Mémoire cité Sur les variations séculaires des nœuds et des inclinaisons ; et l’on peut intégrer de la même manière les équations du numéro précédent.

On fera pour cela

${\begin{alignedat}{2}x\ \ &=\mathrm {A} \ \ \sin(at+\alpha ),\qquad &y\ \ &=\mathrm {A} \ \ \cos(at+\alpha ),\\x'\ &=\mathrm {A} '\ \sin(at+\alpha ),&y'\ &=\mathrm {A} '\ \cos(at+\alpha ),\\x''&=\mathrm {A} ''\sin(at+\alpha ),&y''&=\mathrm {A} ''\cos(at+\alpha ),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$