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leurs valeurs tirées des équations différentielles du n^o 43, on aura

$m=\mathrm {M} +\mu ,\quad n=\mathrm {N} +\nu ,$

les quantités $\mu$ et $\nu$ ayant tous leurs termes multipliés par $\mathrm {T} ',$ ou $\mathrm {T} '',\ldots$ ou par $\mathrm {T} '^{2},$ ou par $\mathrm {T'T''} ,\ldots ,$ ou $\ldots .$ Si donc on fait ces substitutions dans les seconds membres des mêmes équations, il faudra y négliger les quantités $\mu$ et $\nu ,$ parce qu’elles s’y trouveraient encore multipliées par $\mathrm {T} ',$ ou $\mathrm {T} '',$ ou $\ldots .$

D’où il s’ensuit qu’il suffira de mettre, dans les équations dont il s’agit, $\mathrm {M}$ au lieu de $m,$ et $\mathrm {N}$ au lieu de $n\,;$ et par la même raison on y pourra changer $m',m'',\ldots$ en $\mathrm {M',M''} ,\ldots ,$ et $n',n'',\ldots$ en $\mathrm {N',N''} ,\ldots \,;$ ce qui, d’après les réductions du n^o 44, les réduira d’abord à cette formule plus simple

${\begin{aligned}d\mathrm {N} =&-\mathrm {T'(\alpha 'M+\beta 'M')} {\frac {dt}{r^{\frac {3}{2}}}}-\mathrm {T''(\alpha ''M+\beta ''M'')} {\frac {dt}{r^{\frac {3}{2}}}}-\ldots ,\\d\mathrm {M} =&\mathrm {T'(\alpha 'N+\beta 'N')} {\frac {dt}{r^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {T''(\alpha ''N+\beta ''N'')} {\frac {dt}{r^{\frac {3}{2}}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{2}\alpha '\ &=r^{2}{\frac {d\mathrm {A} '}{dr}}\,+{\frac {r^{3}}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {A} '}{dr^{2}}},\qquad &\beta '\ &=r{\frac {\mathrm {B} '}{2}}\ -{\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\mathrm {B} '}{dr}}\,-{\frac {r^{3}}{4}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} '}{dr^{2}}},\\\alpha ''&=r^{2}{\frac {d\mathrm {A} ''}{dr}}+{\frac {r^{3}}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {A} ''}{dr^{2}}},&\beta ''&={\frac {r}{2}}\mathrm {B} ''-{\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\mathrm {B} ''}{dr}}-{\frac {r^{3}}{4}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} ''}{dr^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Et, si l’on substitue enfin les valeurs trouvées à la fin du n^o 45, on aura

${\begin{alignedat}{2}\alpha '\ &={\frac {r^{2}r'}{4}}(r,r')_{1},\qquad &\beta '\ &={\frac {3r^{2}r'}{2}}\,(r,r')-{\frac {r\left(r^{2}+r'^{2}\right)}{2}}(r,r')_{1},\\\alpha ''&={\frac {r^{2}r''}{4}}(r,r'')_{1},&\beta ''&={\frac {3r^{2}r''}{2}}(r,r'')-{\frac {r\left(r^{2}+r''^{2}\right)}{2}}(r,r'')_{1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

50. Changeons, pour plus de simplicité, les lettres $\mathrm {M,N}$ en $x,y$ (il ne faut pas confondre ces $x,y$ avec celles qui représentaient les coordonnées rectangles dans le plan de projection, dont nous n’avons plus besoin dans nos calculs) ; et, conservant les caractères $(0,1),(0,2),$