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De sorte qu’en mettant pour $a$ et $b$ les valeurs précédentes et réduisant, on aura

$(r,r')={\frac {\mathrm {A} }{\left(r^{2}-r'^{2}\right)^{2}}},\quad (r,r')_{1}=-{\frac {3\mathrm {B} }{\left(r^{2}-r'^{2}\right)^{2}}}.$

48. Ainsi, en faisant

$\alpha ={\frac {1}{2}},\ \ \beta ={\frac {1}{2}}.{\frac {1}{4}},\ \ \gamma ={\frac {1}{2}}.{\frac {1}{4}}.{\frac {3}{6}},\ \ \delta ={\frac {1}{2}}.{\frac {1}{4}}.{\frac {3}{6}}.{\frac {5}{8}},\ \ \varepsilon ={\frac {1}{2}}.{\frac {1}{4}}.{\frac {3}{6}}.{\frac {5}{8}}.{\frac {7}{10}},\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}(r,r')\ =&{\frac {r}{\left(r^{2}-r'^{2}\right)^{2}}}\left(1+\alpha ^{2}{\frac {r'^{2}}{r^{2}}}+\beta ^{2}{\frac {r'^{4}}{r^{4}}}+\gamma ^{2}{\frac {r'^{6}}{r^{6}}}+\delta ^{2}{\frac {r'^{8}}{r^{8}}}+\ldots \right),\\(r,r')_{1}=&{\frac {6r}{\left(r^{2}-r'^{2}\right)^{2}}}\left(\alpha {\frac {r'}{r}}-\alpha \beta {\frac {r'^{3}}{r^{3}}}-\beta \gamma {\frac {r'^{5}}{r^{5}}}-\gamma \delta {\frac {r'^{7}}{r^{7}}}-\ldots \right),\end{aligned}}$

où l’on pourra changer à volonté $r$ en $r'$ et réciproquement.

Ici les coefficients $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ forment une série assez décroissante, en sorte que le dixième terme de cette série est déjà $<{\frac {1}{100}}\,;$ mais ces termes approchent ensuite de plus en plus de l’égalité ; d’où il suit qu’après avoir pris la somme d’un certain nombre de termes des séries ci-dessus, on pourra regarder les termes suivants comme formant à très-peu près une progression géométrique.

En général soit $T$ le terme auquel on se sera arrêté ; la somme de tous les termes suivants à l’infini sera nécessairement moindre que $T{\frac {r'^{2}}{r^{2}-r'^{2}}}.$ Or la plus grande valeur de ${\frac {r'}{r}}$ a lieu lorsque l’on compare la distance moyenne de Vénus à celle de la Terre, auquel cas on a à très-peu près ${\frac {r'}{r}}={\frac {7}{10}}\,;$ par conséquent ${\frac {r'^{2}}{r^{2}}}<{\frac {1}{2}}$ et ${\frac {r'^{2}}{r^{2}-r'^{2}}}<1.$ Ainsi dans ce cas, qui est le plus défavorable pour le calcul, la somme de tous les termes qui suivent $T$ sera toujours $<T\,;$ et elle le sera d’autant plus que le rapport des deux distances moyennes sera un plus petit nombre. Or je trouve dans ce cas que, si $T$ est le dixième terme de l’une ou de l’autre série, il