Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/189

Cette méthode consiste à regarder la quantité

$\mathrm {V} =r^{2}-2rr'\cos u+r'^{2}$

comme le produit de ces deux-ci

$r-r'e^{u{\sqrt {-1}}},\quad r-r'e^{-u{\sqrt {-1}}}\,;$

à élever ensuite chacun de ces binômes à la puissance $-s,$ ce qui fournira ces deux séries

${\begin{aligned}{\frac {1}{r^{s}}}+&{\frac {sr'e^{u{\sqrt {-1}}}}{r^{s+1}}}\ \ +{\frac {s(s+1)r'^{2}e^{2u{\sqrt {-1}}}}{2r^{s+2}}}\ \ +{\frac {s(s+1)(s+2)r'^{3}e^{3u{\sqrt {-1}}}}{2.3r^{s+3}}}\ \ +\ldots ,\\{\frac {1}{r^{s}}}+&{\frac {sr'e^{-u{\sqrt {-1}}}}{r^{s+1}}}+{\frac {s(s+1)r'^{2}e^{-2u{\sqrt {-1}}}}{2r^{s+2}}}+{\frac {s(s+1)(s+2)r'^{3}e^{-3u{\sqrt {-1}}}}{2.3r^{s+3}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

enfin à multiplier ensemble ces deux séries, en ordonnant les termes relativement aux puissances de $e^{u{\sqrt {-1}}}$ et de $e^{-u{\sqrt {-1}}},$ et à remettre après cela $2\cos u$ à la place de $e^{u{\sqrt {-1}}}+e^{-u{\sqrt {-1}}}$ et, en général, $2\cos mu$ à la place de $e^{mu{\sqrt {-1}}}+e^{-mu{\sqrt {-1}}}.$ De cette manière la valeur de ${\frac {1}{\mathrm {V} ^{s}}}$ se trouvera naturellement exprimée par la série

$\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos u+\mathrm {C} \cos 2u+\ldots ,$

dans laquelle, en faisant

$\alpha =s,\quad \beta ={\frac {s(s+1)}{2}},\quad \gamma ={\frac {s(s+1)(s+2)}{2.3}},\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} &={\frac {1}{r^{2s}}}\left(1+\alpha ^{2}{\frac {r'^{2}}{r^{2}}}+\beta ^{2}{\frac {r'^{4}}{r^{4}}}+\gamma ^{2}{\frac {r'^{6}}{r^{6}}}+\ldots \right),\\\mathrm {B} &={\frac {2}{r^{2s}}}\left(\alpha {\frac {r'}{r}}+\alpha \beta {\frac {r'^{3}}{r^{3}}}+\beta \gamma {\frac {r'^{5}}{r^{5}}}+\ldots \right),\\\mathrm {C} &={\frac {2}{r^{2s}}}\left(\beta {\frac {r'^{2}}{r^{2}}}+\beta \gamma {\frac {r'^{4}}{r^{4}}}+\gamma \delta {\frac {r'^{6}}{r^{6}}}+\ldots \right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$