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conservant ces dernières expressions, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {A} '=\left(r^{2}+r'^{2}\right)(r,r')-rr'(r,r')_{1},\\&\mathrm {B} '\,=4rr'(r,r')-\left(r^{2}+r'^{2}\right)(r,r')_{1},\\&{\frac {d\mathrm {A} '}{dr}}=-r(r,r')+{\frac {1}{2}}r'(r,r')_{1},\\&{\frac {d\mathrm {B} '}{dr}}\,=-2r'(r,r')+{\frac {r'^{2}}{r}}(r,r')_{1},\\&{\frac {d^{2}\mathrm {A} '}{dr^{2}}}=2(r,r')-{\frac {r'}{2r}}(r,r')_{1},\\&{\frac {d^{2}\mathrm {B} '}{dr^{2}}}\,={\frac {6r'}{r}}(r,r')-{\frac {2r'^{2}}{r^{2}}}(r,r')_{1}\,;\end{aligned}}$

et, pour avoir les valeurs de $\mathrm {A'',B''} ,{\frac {d\mathrm {A} ''}{dr}},{\frac {d\mathrm {B} ''}{dr}},\ldots ,$ il n’y aura qu’à changer $r'$ en $r'',$ et ainsi de suite.

En substituant donc ces valeurs dans les coefficients des équations de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ (43), ces coefficients deviendront des fonctions finies des quantités $r,r',$$r'',\ldots$ qui représentent les distances moyennes des Planètes, et qui doivent être regardées comme constantes et données par les observations.

46. Mais il reste encore à trouver les valeurs mêmes des fonctions $(r,r')$ et $(r,r')_{1}\,;$ or c’est à quoi l’on ne saurait parvenir que par les séries ou les quadratures. L’un et l’autre de ces moyens a déjà été employé par les Géomètres qui se sont occupés de la Théorie des inégalités périodiques des Planètes, et l’on trouve dans leurs recherches les valeurs des fonctions dont il s’agit pour la plupart des cas que nous aurons à discuter de sorte que nous pourrions faire usage de ces valeurs, sans prendre la peine de les calculer de nouveau. Cependant, pour ne rien laisser à désirer dans la Théorie que nous avons entrepris de donner, voici une méthode fort simple et très-sûre pour déterminer les valeurs dont il s’agit avec tel degré d’exactitude qu’on voudra.