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sible qu’alors les quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ deviendront celles que nous avons désignées par $\mathrm {A',B',C'} ,\ldots$ (43).

Nous aurons donc ainsi

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {A} '}{dr}}=&{\frac {r'\mathrm {B} '-2r\mathrm {A} '}{2\left(r^{2}-r'^{2}\right)}},\\{\frac {d\mathrm {B} '}{dr}}=&{\frac {{\cfrac {r'^{2}}{r}}\mathrm {B} '-2r'\mathrm {A} '}{r^{2}-r'^{2}}}={\frac {2r'}{r}}{\frac {d\mathrm {A} '}{dr}}\,;\end{aligned}}$

et de là, en différentiant et substituant,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {A} '}{dr^{2}}}=&-{\frac {rr'\mathrm {B} '-\left(r^{2}+r'^{2}\right)\mathrm {A} '}{\left(r^{2}-r'^{2}\right)^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {A} '}{dr}}\\=&{\frac {2r^{2}\mathrm {A} '}{\left(r^{2}-r'^{2}\right)^{2}}}-{\frac {\left(3r^{2}-r'^{2}\right)r'\mathrm {B} '}{2r\left(r^{2}-r'^{2}\right)^{2}}},\\{\frac {d^{2}\mathrm {\mathrm {B} } '}{dr^{2}}}=&-{\frac {2r'}{r^{2}}}{\frac {d\mathrm {A} '}{dr}}+{\frac {2r'}{r}}{\frac {d^{2}\mathrm {A} '}{dr^{2}}}\\=&{\frac {2r'\left(3r^{2}-r'^{2}\right)\mathrm {A} '}{r\left(r^{2}-r'^{2}\right)^{2}}}-{\frac {2r'^{2}\left(2r^{2}-r'^{2}\right)\mathrm {B} '}{r^{2}\left(r^{2}-r'^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Mais on aura des formules plus simples en introduisant à la place des quantités $\mathrm {A,B}$ les quantités $a,b$ qui résultent du développement de la fonction ${\frac {1}{\mathrm {V} ^{s+1}}}.$ Car, en faisant $s={\frac {1}{2}}$ et dénotant par $a',b'$ les valeurs de $a,b,$ dans ce cas on aura d’abord (numéro précédent)

$\mathrm {A} '=\left(r^{2}+r'^{2}\right)a'-rr'b',\quad \mathrm {B} '=4rr'a'-\left(r^{2}+r'^{2}\right)b',$

et, substituant ces valeurs, il viendra

${\frac {d\mathrm {A} '}{dr}}={\frac {r'b'-2ra'}{2}},\quad {\frac {d\mathrm {B} '}{dr}}={\frac {r'^{2}b'-2rr'a'}{r}},,$

${\frac {d^{2}\mathrm {A} '}{dr^{2}}}=a'-{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {A} '}{dr}}={\frac {4ra'-r'b'}{2r}},\quad {\frac {d^{2}\mathrm {B} '}{dr^{2}}}={\frac {6rr'a'-2r'^{2}b'}{r^{2}}}.$

Or il est visible que les quantités $a',b'$ ne sont autre chose que celles que nous avons représentées par $(r,r'),(r,r')_{1}$ dans le n^o 39 ; ainsi, en