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Cela posé, différentions l’équation

${\frac {1}{\mathrm {V} ^{s}}}=\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos u+\ldots ,$

en y faisant varier $r$ seul ; il viendra

${\frac {-2s(r-r'\cos u)}{\mathrm {V} ^{s+1}}}={\frac {d\mathrm {A} }{dr}}+{\frac {d\mathrm {B} }{dr}}\cos u+{\frac {d\mathrm {C} }{dr}}\cos 2u+\ldots \,;$

donc

${\frac {2r^{2}-2rr'\cos u}{\mathrm {V} ^{s+1}}}=-{\frac {r}{s}}{\frac {d\mathrm {A} }{dr}}-{\frac {r}{s}}{\frac {d\mathrm {B} }{dr}}\cos u-{\frac {r}{s}}{\frac {d\mathrm {C} }{dr}}\cos 2u-\ldots \,;$

or

$2r^{2}-2rr'\cos u=\mathrm {V} +r^{2}-r'^{2}\,;$

donc

${\begin{aligned}{\frac {1}{\mathrm {V} ^{s}}}+{\frac {r^{2}-r'^{2}}{\mathrm {V} ^{s+1}}}=&-{\frac {r}{s}}{\frac {d\mathrm {A} }{dr}}-{\frac {r}{s}}{\frac {d\mathrm {B} }{dr}}\cos u-{\frac {r}{s}}{\frac {d\mathrm {C} }{dr}}\cos 2u-\ldots ,\\=&\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos u+\mathrm {C} \cos 2u+\ldots \\&\qquad \qquad +\left(r^{2}-r'^{2}\right)(a+b\cos u+c\cos 2u+\ldots ),\end{aligned}}$

équation qui devant être identique donnera par la comparaison des termes semblables

$-{\frac {r}{s}}{\frac {d\mathrm {A} }{dr}}=\mathrm {A} +\left(r^{2}-r'^{2}\right)a,\quad -{\frac {r}{s}}{\frac {d\mathrm {B} }{dr}}=\mathrm {B} +\left(r^{2}-r'^{2}\right)b,\ldots ,$

savoir, en mettant pour $a$ et $b$ leurs valeurs trouvées ci-dessus, et réduisant,

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {A} }{dr}}=&{\frac {(1-s)r'\mathrm {B} -2sr\mathrm {A} }{r^{2}-r'^{2}}},\\{\frac {d\mathrm {B} }{dr}}=&{\frac {\left[(1-2s)r+{\cfrac {r'^{2}}{r}}\right]\mathrm {B} -4sr'\mathrm {A} }{r^{2}-r'^{2}}}.\end{aligned}}$

On trouvera de là, par la simple différentiation et substitution, les valeurs de ${\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dr^{2}}},{\frac {d^{2}\mathrm {B} }{dr^{2}}},{\frac {d^{3}\mathrm {A} }{dr^{3}}},\ldots .$

Les formules précédentes étant générales pour quelque exposant $s$ que ce soit, nous ferons $s={\frac {1}{2}}$ pour les appliquer à notre objet ; et il est vi-