Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/184

deviendra

$-{\frac {r}{2}}\mathrm {B} ''-r^{2}{\frac {d\mathrm {B} ''}{dr}}-{\frac {r^{3}}{4}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} ''}{dr^{2}}},$

et ainsi des autres ; moyennant quoi il n’y aura plus que des différentielles relatives à $r$.

Au reste, quoique la propriété des fonctions homogènes dont nous venons de faire usage soit assez connue, en voici une démonstration bien simple. Si $\varphi$ est une fonction homogène de plusieurs variables $x,y,z,\ldots ,$, qui forment partout la même dimension du degré $m,$ il est clair qu’en substituant $ax,ay,az,\ldots$ au lieu de $x,y,z,\ldots ,$ la fonction $\varphi$ deviendra $a^{m}\varphi ,$ $a$ étant une quantité quelconque ; si donc on fait $a=1+\alpha ,$ $\alpha ,$ étant une quantité infiniment petite, il faudra qu’en faisant croître les variables $x,y,z,\ldots ,$ de $\alpha x,\alpha y,\alpha z,\ldots ,$ la fonction $\varphi$ croisse en même temps de $m\alpha \varphi \,;$ ce qui donne évidemment l’équation

${\frac {d\varphi }{dx}}x+{\frac {d\varphi }{dy}}y+{\frac {d\varphi }{dz}}z+\ldots =m\varphi .$

45. Voyons ensuite comment on peut déterminer les valeurs de $\mathrm {A',B'} ,$$\mathrm {A'',B''} ,\ldots$ et de leurs différentielles relatives à $r.$ Pour cela je fais, en général,

${\begin{aligned}\mathrm {V} =&r^{2}-2rr'\cos u+r'^{2},\ldots ,\\{\frac {1}{\mathrm {V} ^{s}}}=&\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos u+\mathrm {C} \cos 2u+\ldots \,;\end{aligned}}$

en différentiant relativement à $u,$ on aura

${\frac {2srr'\sin u}{\mathrm {V} ^{s+1}}}=\mathrm {B} \sin u+2\mathrm {C} \sin 2u+\ldots \,;$

donc, multipliant par $\mathrm {V}$ et substituant la valeur de $\mathrm {V}$ ainsi que celle de $\mathrm {V} ^{-s},$ il viendra cette équation identique

${\begin{aligned}2s&rr'\sin u\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos u+\mathrm {C} \cos 2u+\ldots \right)\\&=\left(r^{2}-2rr'\cos u+r'^{2}\right)\left(\mathrm {B} \sin u+2\mathrm {C} \sin 2u+\ldots \right),\end{aligned}}$

laquelle, en développant les termes et comparant, donnera d’abord

$srr'(2\mathrm {A-C} )=\left(r^{2}+r'^{2}\right)\mathrm {B} -2rr'\mathrm {C} ,$