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d’un, de deux,… traits les lettres qui n’en ont aucun, à l’exception de $t,$ et réciproquement effaçant les traits de celles qui en ont un, deux,….

À l’égard des quantités $m,n,$ on aura, pour leur détermination, les équations

$dn=(\mathrm {M} -m){\frac {dt}{r^{3}}},\quad dm=(n-\mathrm {N} ){\frac {dt}{r^{\frac {3}{2}}}},$

comme il résulte des expressions de ces quantités (38) ; et, marquant les lettres $m,n,\mathrm {M,N,}$ et $r$ d’un, deux,… traits, on aura les équations de $m',n',$ de $m'',n'',\ldots .$

44. Comme dans les formules précédentes il entre non-seulement les quantités $\mathrm {A',B',A'',B''} ,\ldots ,$ mais encore leurs différences premières et secondes, nous allons donner la manière de faire disparaître ces différences.

Et d’abord, puisque les coefficients $\mathrm {A',B'} ,\ldots$ résultent du développement d’une fonction homogène de $r$ et $r'$ de la dimension $-1,$ ils sont aussi nécessairement de pareilles fonctions de $r$ et $r'$ de la dimension $-1,$ de sorte que, par la propriété connue de ces sortes de fonctions, on aura

$r{\frac {d\mathrm {B} '}{dr}}+r'{\frac {d\mathrm {B} '}{dr'}}=-\mathrm {B} '\,;$

par conséquent

${\begin{aligned}r'{\frac {d\mathrm {B} '}{dr'}}=&-\mathrm {B} '-r{\frac {d\mathrm {B} '}{dr}},\\r'{\frac {d^{2}\mathrm {B} '}{dr'^{2}}}=&-2{\frac {d\mathrm {B} '}{dr}}-r^{2}{\frac {d^{2}\mathrm {B} '}{dr^{2}}}.\end{aligned}}$

Ainsi la quantité

${\frac {rr'}{2}}{\frac {d\mathrm {B} '}{dr'}}+{\frac {r^{2}r'}{4}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} '}{drdr'}}$

deviendra

$-{\frac {r}{2}}\mathrm {B} '-r^{2}{\frac {d\mathrm {B} '}{dr}}-{\frac {r^{3}}{4}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} '}{dr^{2}}}.$

De même, et par la même raison, la quantité

${\frac {rr''}{2}}{\frac {d\mathrm {B} ''}{dr''}}+{\frac {r^{2}r''}{4}}{\frac {d^{2}\mathrm {B} ''}{drdr''}}$