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${\begin{aligned}d\mathrm {M} =&-\left({\frac {r^{3}}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{dr^{2}}}\mathrm {N} +r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}n\right)dp\\&-\left[-rr'{\frac {d^{2}\Omega }{dr'dp}}\sin(p-p')+{\frac {r^{2}r'}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{drdr'}}\cos(p-p')\right]\mathrm {N} 'dp\\&-\left[2r{\frac {d^{2}\Omega }{dpdp'}}\cos(p-p')+r^{2}{\frac {d^{2}\Omega }{drdp'}}\sin(p-p')\right]n'dp\\&-\left[-rr''{\frac {d^{2}\Omega }{dr''dp}}\sin(p-p'')+{\frac {r^{2}r''}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{drdr''}}\cos(p-p'')\right]\mathrm {N} ''dp\\&-\left[2r{\frac {d^{2}\Omega }{dpdp''}}\cos(p-p'')+r^{2}{\frac {d^{2}\Omega }{drdp''}}\sin(p-p'')\right]n''dp\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

43. Développons maintenant par les méthodes connues les fractions irrationnelles

$\left[r^{2}-2rr'\cos(p-p')+r'^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}},\quad \left[r^{2}-2rr''\cos(p-p'')+r''^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}},\ldots$

en séries rationnelles de la forme

${\begin{aligned}&\mathrm {A} '\ +\mathrm {B} '\ \cos(p-p'\ )+\mathrm {C} '\ \cos 2(p-p'\ )+\ldots ,\\&\mathrm {A} ''+\mathrm {B} ''\cos(p-p'')+\mathrm {C} ''\cos 2(p-p'')+\ldots ,\\\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

On aura alors, en changeant dans $\Omega$ la lettre $q$ en $p,$

${\begin{aligned}\Omega =&-\mathrm {T} '\ \left[\mathrm {A} '\,+\left(\mathrm {B} '\,-{\frac {r}{r'^{2}\,}}\right)\cos(p-p'\,)+\mathrm {C} '\,\cos 2(p-p'\,)+\ldots \right]\\&-\mathrm {T} ''\left[\mathrm {A} ''+\left(\mathrm {B} ''-{\frac {r}{r''^{2}}}\right)\cos(p-p'')+\mathrm {C} ''\cos 2(p-p'')+\ldots \right]\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On substituera cette valeur dans les équations précédentes, et l’on fera attention que $\mathrm {A',B'} ,\ldots$ sont fonctions de $r$ et $r'$ seulement, que $\mathrm {A'',B''} ,\ldots$ sont fonctions de $r$ et $r'',$ et ainsi de suite. En ne retenant que les termes sans sinus ni cosinus, on aura enfin ces équations, dans lesquelles