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et, à la place de ${\frac {d\Omega }{dq}},$

${\frac {d\Omega }{dp}}+r{\frac {d^{2}\Omega }{drdp}}(\mathrm {M} \sin p+\mathrm {N} \cos p)+r'{\frac {d^{2}\Omega }{dr'dp}}(\mathrm {M} '\sin p'+\mathrm {N} '\cos p')$

$+r''{\frac {d^{2}\Omega }{dr''dp}}(\mathrm {M} ''\sin p''+\mathrm {N} ''\cos p'')+\ldots$

$+2{\frac {d^{2}\Omega }{dp^{2}}}(m\cos p-n\sin p)+2{\frac {d^{2}\Omega }{dpdp'}}(m'\cos p'-n'\sin p')$

$+2{\frac {d^{2}\Omega }{dpdp''}}(m''\cos p''-n''\sin p'')+\ldots .$

Ces substitutions faites, il n’y aura plus qu’à changer la fonction $\Omega$ en une série de cosinus d’angles multiples de $p-p',p-p'',\ldots \,;$ et comme des termes résultants on ne veut conserver que ceux qui se trouveront sans sinus et cosinus, on remarquera d’abord que les fonctions ${\frac {d\Omega }{dr}},{\frac {d^{2}\Omega }{dr^{2}}},$${\frac {d^{2}\Omega }{drdr'}},$${\frac {d^{2}\Omega }{drdr''}},\ldots$ ne pourront donner de ces sortes de termes qu’autant qu’elles ne seront multipliées par aucun sinus ni cosinus, ou qu’elles le seront par des cosinus de $p-p',p-p'',\ldots$ ou de leurs multiples quelconques ; que ${\frac {d\Omega }{dp}},$${\frac {d^{2}\Omega }{drdp}},$${\frac {d^{2}\Omega }{dr'dp}},\ldots ,{\frac {d^{2}\Omega }{drdp'}},\ldots$ ne donneront de pareils termes qu’autant qu’elles seront multipliées par des sinus de $p-p',p-p'',\ldots$ ou de leurs multiples ; qu’enfin ${\frac {d^{2}\Omega }{dp^{2}}},{\frac {d^{2}\Omega }{dpdp'}},\ldots$ n’en donneront qu’autant qu’elles se trouveront multipliées par des cosinus de $p-p',p-p'',\ldots$ ou de leurs multiples. D’où il suit que ces quantités seront les seules auxquelles il sera nécessaire d’avoir égard dans les substitutions dont il s’agit, et qu’ainsi l’on pourra d’abord réduire les équations en question à celles-ci

${\begin{aligned}d\mathrm {N} =&\left({\frac {r^{3}}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{dr^{2}}}\mathrm {M} +r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}m\right)dp\\&+\left[-rr'{\frac {d^{2}\Omega }{dr'dp}}\sin(p-p')+{\frac {r^{2}r'}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{drdr'}}\cos(p-p')\right]\mathrm {M} 'dp\\&+\left[2r{\frac {d^{2}\Omega }{dpdp'}}\cos(p-p')+r^{2}{\frac {d^{2}\Omega }{drdp'}}\sin(p-p')\right]m'dp\\&+\left[-rr''{\frac {d^{2}\Omega }{dr''dp}}\sin(p-p'')+{\frac {r^{2}r''}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{drdr''}}\cos(p-p'')\right]\mathrm {M} ''dp\\&+\left[2r{\frac {d^{2}\Omega }{dpdp''}}\cos(p-p'')+r^{2}{\frac {d^{2}\Omega }{drdp''}}\sin(p-p'')\right]m''dp\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$