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on aura

${\begin{aligned}&\sin q=\sin p+m(1+2\cos 2p)-n\sin 2p,\\&\cos q=\cos p-m\sin 2p+n(1-\cos 2p),\\&\sin qdq=\left[\sin p+m-\mathrm {M} +(m+\mathrm {M} )\cos 2p-(n+\mathrm {N} )\sin 2p\right]dp,\\&\cos qdq=\left[\cos p-\ (m+\mathrm {M} )\sin 2p\,+n-\mathrm {N} -(n+\mathrm {N} )\cos 2p\right]dp.\end{aligned}}$

Ensuite, en conservant la lettre $r$ pour représenter la distance moyenne ${\frac {1}{\Delta }},$ comme on en a usé ci-dessus, on mettra $r(1+\mathrm {M} \sin p+\mathrm {N} \cos p)$ au lieu de $r,$ et $r(\mathrm {M} \cos p-\mathrm {N} \sin p)dp$ au lieu de $dr.$

De sorte qu’on aura

${\begin{aligned}\sin qdr=&rdp\left[m-{\frac {\mathrm {N} }{2}}+\left({\frac {\mathrm {M} }{2}}-n\right)\sin 2p+\left(m+{\frac {\mathrm {N} }{2}}\right)\cos 2p\right],\\\cos qdr=&rdp\left[n+{\frac {\mathrm {M} }{2}}+\left({\frac {\mathrm {M} }{2}}-n\right)\cos 2p-\left(m+{\frac {\mathrm {N} }{2}}\right)\sin 2p\right],\\\\r\sin qdq=&rdp\left[\sin p+m-{\frac {\mathrm {M} }{2}}+\left(m+{\frac {\mathrm {M} }{2}}\right)\cos 2p-\left(n+{\frac {\mathrm {N} }{2}}\right)\sin 2p\right],\\r\cos qdq=&rdp\left[\cos p+n\ -{\frac {\mathrm {N} }{2}}-\left(m+{\frac {\mathrm {M} }{2}}\right)\sin 2p-\left(n+{\frac {\mathrm {N} }{2}}\right)\cos 2p\right],\\\\r^{2}\sin qdq=&r^{2}dp\left[\sin p+m+m\cos 2p-n\sin 2p\right],\\r^{2}\cos qdq=&r^{2}dp\left[\cos p+n\ -m\sin 2p-n\cos 2p\right].\end{aligned}}$

Enfin, comme $\Omega$ est fonction de $r,r',r'',\ldots ,q,q',q'',\ldots ,$ il y faudra aussi substituer $r(1+\mathrm {M} \sin p+\mathrm {N} \cos p)$ et $p+2m\cos p-2n\sin p$ à la place de $r$ et $q,$ et ainsi des autres quantités analogues $r',q',r'',q'',\ldots$ en marquant simplement toutes les lettres d’un, de deux, … traits.

On changera donc, dans la fonction $\Omega ,$ les quantités $q,q',\ldots$ en $p,p',\ldots ,$ et l’on substituera, au lieu de ${\frac {d\Omega }{dr}},$

${\frac {d\Omega }{dr}}+r{\frac {d^{2}\Omega }{dr^{2}}}(\mathrm {M} \sin p+\mathrm {N} \cos p)+r'{\frac {d^{2}\Omega }{drdr'}}(\mathrm {M} '\sin p'+\mathrm {N} '\cos p')$

$+r''{\frac {d^{2}\Omega }{drdr''}}(\mathrm {M} ''\sin p''+\mathrm {N} ''\cos p'')+\ldots$

$+2{\frac {d^{2}\Omega }{drdp}}(m\cos p-n\sin p)+2{\frac {d^{2}\Omega }{drdp'}}(m'\cos p'-n'\sin p')$

$+2{\frac {d^{2}\Omega }{drdp''}}(m''\cos p''-n''\sin p'')+\ldots ,$