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sont déjà elles-mêmes très-petites de cet ordre, puisque

$z={\frac {r}{\mathrm {R} }}\left(\mathrm {Q} \sin q-\mathrm {P} \cos q\right),\ldots \,;$

il est clair qu’on pourra d’abord simplifier les formules précédentes, en y négligeant tous les termes où $z,z',\ldots$ formeront des produits de deux ou de plus de deux dimensions.

Donc, puisque tous les termes de la valeur de ${\frac {d\Omega }{dz}}$ sont eux-mêmes déjà multipliés par $z,$ ou $z',$ ou $z'',\ldots$ (15 et 16), il s’ensuit que les formules dont il s’agit se réduiront à celles-ci

${\begin{aligned}d\mathrm {N} =&{\frac {d\Omega }{dq}}\sin qdr+\left(2r{\frac {d\Omega }{dq}}\cos q+r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}\sin q\right)dq,\\d\mathrm {M} =&-{\frac {d\Omega }{dq}}\cos qdr+\left(2r{\frac {d\Omega }{dq}}\sin q-r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}\cos q\right)dq\,;\end{aligned}}$

et que la fonction $\Omega$ deviendra de cette forme

${\begin{aligned}\Omega =&\mathrm {T} '\left[{\frac {r\cos(q-q'\ )}{r'^{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2r'\ r\cos(q-q'\ )+r'^{2}\ }}}\right]\\+&\mathrm {T} ''\left[{\frac {r\cos(q-q'')}{r''^{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2r''r\cos(q-q'')+r''^{2}}}}\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On fera, dans ces formules, les substitutions indiquées plus haut (38), en ayant soin de rejeter tous les termes qui contiendraient des produits ou des puissances de $m,n,\mathrm {M,N} ,m',n',\mathrm {M} ',\ldots ,$ ainsi que ceux qui se trouveraient multipliés par des sinus ou cosinus des angles $p,p',\ldots$ ou des combinaisons quelconques de ces angles.

Donc, puisque

$q=p+2m\cos p-2n\sin p,\quad dq=dp(1-2\mathrm {M} \sin p-2\mathrm {N} \cos p),$