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et les variables $s,s',s'',\ldots ,u,u',u'',\ldots$ de ces équations exprimeront les quantités

${\begin{array}{lll}\theta \sin \omega ,&\theta '\sin \omega ',&\theta ''\sin \omega '',\ldots ,\\\theta \cos \omega ,&\theta '\cos \omega ',&\theta ''\cos \omega '',\ldots ,\end{array}}$

dans lesquelles $\theta ,\theta ',\theta '',\ldots$ sont les tangentes des inclinaisons des orbites des Planètes $\mathrm {T,T',T''} ,\ldots ,$ et $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots$ les longitudes des nœuds ascendants de ces orbites.

Telles sont les formules les plus simples pour déterminer les variations séculaires de la position des orbites planétaires ; nous les avions déjà données dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, page 109, année 1774^[1] ; mais nous avons cru devoir les redonner ici pour ne rien laisser à désirer sur la Théorie des variations séculaires.

41. Il ne reste plus qu’à développer et à réduire d’une manière semblable les formules

${\begin{aligned}d\mathrm {N} =&2x(d\Omega )-\Phi dx-{\frac {d\Omega }{dx}}\rho d\rho ,\\d\mathrm {M} =&2y\,(d\Omega )-\Phi dy\,-{\frac {d\Omega }{dy}}\rho d\rho .\end{aligned}}$

Pour cela nous ferons d’abord dans la fonction $\Omega$ (16) les substitutions de $r\cos q,r\sin q,\ r'\cos q',\ r'\sin q',\ldots$ pour $x,y,x',y',\ldots \,;$ ce qui donnera une fonction de $r,q,z,r',q',z',\ldots .$ Or, en ne considérant que la variabilité de $x,y$ et de $r,q,$ il est visible qu’on a cette équation identique

${\frac {d\Omega }{dx}}dx+{\frac {d\Omega }{dy}}dy={\frac {d\Omega }{dr}}dr+{\frac {d\Omega }{dq}}dq\,;$

laquelle, en substituant pour $dx,dy$ leurs valeurs

$\cos qdr-r\sin qdq,\quad \sin qdr+r\cos qdq,$

1. Le Mémoire auquel il est fait ici allusion appartient, comme nous avons déjà eu occasion de le mentionnor, à la troisième Section des Œuvres de Lagrange.
   (Note de l’Éditeur)