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Il faudra ensuite faire les mêmes substitutions dans les quantités

${\frac {1}{\rho '^{3}}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}}},\quad {\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}},\ldots ,$

et y négliger aussi par la même raison toutes les quantités très-petites.

On aura donc (16)

$\rho =r,\quad \rho '=r',\ldots ,$

$\sigma '={\sqrt {r^{2}-2rr'\cos(q-q')+r'^{2}}},\quad \sigma ''={\sqrt {r^{2}-2rr''\cos(q-q'')+r''^{2}}},\ldots .$

Or la quantité irrationnelle

$\left[r^{2}-2rr'\cos(q-q')+r'^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}$

peut se développer, comme on sait, dans une série de la forme

$(r,r')+(r,r')_{1}\cos(q-q')+(r,r')_{2}\cos 2(q-q')+\ldots ,$

dans laquelle

$(r,r'),\quad (r,r')_{1},\quad (r,r')_{2},\ldots$

sont des fonctions de $r,r'$ sans $q,q'$ (voyez plus bas le n^o 46) ; de même la quantité

$\left[r^{2}-2rr''\cos(q-q'')+r''^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}$

se développera dans la série

$(r,r'')+(r,r'')_{1}\cos(q-q'')+(r,r'')_{2}\cos 2(q-q'')+\ldots ,$

et ainsi des autres quantités semblables.

Donc on aura par ces substitutions

${\begin{aligned}{\frac {1}{\rho '^{3}}}-\ {\frac {1}{\sigma '^{3}}}=&{\frac {1}{r'^{3}}}\,-(r,r')\,-(r,r')_{1}\,\cos(q-q')\,-(r,r')_{2}\,\cos 2(q-q')\,-\ldots ,\\{\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}}=&{\frac {1}{r''^{3}}}-(r,r'')-(r,r'')_{1}\cos(q-q'')-(r,r'')_{2}\cos 2(q-q'')-\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

On multipliera maintenant ces quantités par celles que nous avons trouvées ci-dessus, en changeant dans les unes et les autres les lettres $q,$