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En substituant pour ${\frac {d\Omega }{dx}},{\frac {d\Omega }{dy}},{\frac {d\Omega }{dz}}$ leurs valeurs (16), on aura

${\begin{aligned}&{\frac {d\Omega }{dy}}z-{\frac {d\Omega }{dz}}y=\\&\quad \mathrm {T} '\left({\frac {1}{\rho '^{3}}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}}}\right)(y'z-yz')+\mathrm {T} ''\left({\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}}\right)(y''z-yz'')+\ldots ,\\&{\frac {d\Omega }{dx}}z-{\frac {d\Omega }{dz}}x=\\&\quad \mathrm {T} '\left({\frac {1}{\rho '^{3}}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}}}\right)(x'z-xz')+\mathrm {T} ''\left({\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}}\right)(x''z-xz'')+\ldots ,\end{aligned}}$

et l’on trouvera d’abord ces transformations

${\begin{aligned}(y'z-yz')=&rr'\left({\frac {\mathrm {Q} \sin q-\mathrm {P} \cos q}{\mathrm {R} }}\sin q'-{\frac {\mathrm {Q} '\sin q'-\mathrm {P} '\cos q'}{\mathrm {R} '}}\sin q\right)\\=&{\frac {rr'}{2}}\mathrm {\left({\frac {Q}{R}}-{\frac {Q'}{R'}}\right)} \left[\cos(q-q')-\cos(q+q')\right]\\&+{\frac {rr'}{2}}\mathrm {\left({\frac {P}{R}}+{\frac {P'}{R'}}\right)} \sin(q-q')-{\frac {rr'}{2}}\mathrm {\left({\frac {P}{R}}-{\frac {P'}{R'}}\right)} \sin(q+q'),\\\\(x'z-xz')=&rr'\left({\frac {\mathrm {Q} \sin q-\mathrm {P} \cos q}{\mathrm {R} }}\cos q'-{\frac {\mathrm {Q} '\sin q'-\mathrm {P} '\cos q'}{\mathrm {R} '}}\cos q\right)\\=&-{\frac {rr'}{2}}\mathrm {\left({\frac {P}{R}}-{\frac {P'}{R'}}\right)} \left[\cos(q-q')+\cos(q+q')\right]\\&+{\frac {rr'}{2}}\mathrm {\left({\frac {Q}{R}}+{\frac {Q'}{R'}}\right)} \sin(q-q')+{\frac {rr'}{2}}\mathrm {\left({\frac {Q}{R}}-{\frac {Q'}{R'}}\right)} \sin(q+q'),\end{aligned}}$

et ainsi des autres expressions semblables.

Or, puisque les quantités $\mathrm {P,Q,P',Q'} ,\ldots$ qui multiplient tous les termes de ces expressions sont très-petites du premier ordre, il faudra rejeter toutes les quantités de cet ordre et des suivants dans les valeurs de $r,r',\ldots$ et de $q,q',\ldots .$

Ainsi l’on fera simplement (numéro précédent)

$r={\frac {1}{\Delta }},\quad r'={\frac {1}{\Delta '}},\ldots \quad q=p,\quad q'=p',\ldots \,;$

mais, pour plus de simplicité, nous retiendrons les quantités $r,r',\ldots$ en les regardant comme constantes et égales aux distances moyennes des Planètes

$\mathrm {T,T'} ,\ldots .$