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En regardant les inclinaisons et les excentricités comme des quantités très-petites, ainsi qu’elles le sont en effet pour toutes les Planètes de notre système, nous n’aurons égard, du moins dans la première approximation, qu’aux premières dimensions de ces quantités ; mais nos formules primitives étant rigoureuses et générales, il sera facile d’en pousser le développement plus loin, si on le juge nécessaire.

Or, comme on a

$\mathrm {P=R} \theta \sin \omega ,\quad \mathrm {Q=R} \theta \cos \omega ,$

$\theta$ étant la tangente de l’inclinaison de l’orbite et la longitude du nœud ascendant (5), et

$\mathrm {L} =\lambda \sin \eta ,\quad \mathrm {M} =\lambda \cos \eta \sin \varphi ,\quad \mathrm {N} =\lambda \cos \eta \cos \varphi ,$

$\lambda$ étant l’excentricité (à cause de $g=1$), $\varphi$ la longitude de l’aphélie et $\eta$ la latitude de cet aphélie, laquelle est déterminée (9) par l’équation

$\operatorname {tang} \eta =\theta \sin(\varphi -\omega ),$

il est évident qu’en supposant $\theta$ et $\lambda$ très-petites du premier ordre, les quantités $\mathrm {{\frac {P}{R}},{\frac {Q}{R}},M,N}$ seront aussi très-petites de ce même ordre, et que la quantité $\mathrm {L}$ sera très-petite du second ordre, puisque l’angle $\eta$ est lui-même très-petit du premier.

Donc, en négligeant les quantités très-petites du second ordre, on aura

$\mathrm {R} =\Pi ={\frac {1}{\sqrt {\Delta }}}\,;$

car

$\Pi =\mathrm {{\sqrt {R^{2}+P^{2}+Q^{2}}}=R{\sqrt {1+{\frac {P^{2}}{R^{2}}}+{\frac {Q^{2}}{R^{2}}}}}} ,$

et

$\Delta ={\frac {g^{2}-\lambda ^{2}}{\Pi ^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}},$

à cause de $g=1.$ Ainsi, comme $\Delta$ est toujours un nombre fini, puisque ${\frac {1}{\Delta }}$ exprime la distance moyenne de la Planète au Soleil, celle de la Terre