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donc

$h^{2}-m^{2}-n^{2}=g^{2}\mathrm {R} ^{2}\left(g^{2}-\mathrm {L^{2}-M^{2}-N^{2}} \right)\mathrm {\left(R^{2}+P^{2}+Q^{2}\right)} .$

Ainsi en mettant $\Pi ^{2}$ pour $\mathrm {R^{2}+P^{2}+Q^{2}}$ et $\lambda ^{2}$ pour $\mathrm {L^{2}+M^{2}+N^{2}}$ (8), on aura

$\alpha ={\frac {g^{4}\mathrm {R} ^{2}\Pi ^{2}}{g^{3}\mathrm {R} ^{3}\Pi ^{3}\left(g^{2}-\lambda ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

ou bien, en mettant encore $\Pi ^{2}$ à la place de $g^{2}-\lambda ^{2}$ (11),

$\alpha ={\frac {g}{\mathrm {R} \Pi ^{4}\Delta ^{\frac {2}{3}}}}.$

Il s’ensuit de là que la quantité ${\frac {1}{\mathrm {R} \Pi ^{4}\alpha }}$ deviendra ${\frac {\Delta ^{\frac {3}{2}}}{g}}\,;$ c’est la valeur de ${\frac {dp}{dt}}$ (30), c’est-à-dire de la vitesse du mouvement de la longitude moyenne. Or, puisque ${\frac {g}{\Delta }}$ est la distance moyenne dans l’ellipse (13), on voit que cette vitesse sera proportionnelle inversement à la racine carrée du cube de la distance moyenne, comme on sait que cela a lieu dans les ellipses invariables. On aurait pu à la vérité supposer cette proposition comme une suite de l’invariabilité instantanée des éléments de l’orbite ; mais nous avons cru que, vu sa grande importance, il valait mieux la démontrer directement et rigoureusement, pour ne laisser aucun scrupule sur les conséquences que nous allons en déduire, relativement à l’altération du mouvement moyen des Planètes.

35. Nous avons trouvé (22), pour la variation de la quantité $\Delta ,$ cette formule très-simple

$d\Delta =2(d\Omega ),$

dans laquelle $(d\Omega )$ représente la différentielle partielle de $\Omega$, en y faisant varier seulement les variables $x,y,z$ relatives à la Planète troublée $\mathrm {T} .$ Si donc on substitue dans l’expression de (16), à la place de ces variables, leurs valeurs en fonction de $\sin q$ et $\cos q$ (29), et qu’ensuite on substitue encore à la place de $q$ sa valeur en $p$ (31), il suffira, pour avoir l’expression de $(d\Omega ),$ de prendre la différentielle de $\Omega ,$ en y faisant va-